SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 7.

Forma CanÓnica de Jordan

Ejemplo 3. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden.

Solución. En el Ejemplo 1 de la Lección 4 del Capítulo 6 se presentó, como una aplicación de las ideas subyacentes en la demostración del Teorema de Descomposición Irreducible, la solución general de una ecuación diferencial ordinaria de grado $n\geq 1$ con coeficientes constantes. Más exactamente, se vió que si es una ecuación diferencial tal que el polinomio se factoriza completamente en $\U{211d}$ en la forma , entonces una base para el espacio solución de la ecuación diferencial es .

Veremos ahora sistemas de ecuaciones diferenciales de tipo especial. Sean $y_{1},...,y_{n}$ funciones diferenciables en un intervalo real , una matriz real de orden $n\geq 1$ y sea una matriz columna real.

El sistema

(1)

se denomina sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Si , el sistema se dice homogéneo.

Vamos a probar que el conjunto solución de un sistema homogéneo es un subespacio vectorial de , y que si es una solución particular de (1), entonces cualquier solución de (1) es de la forma , donde $Y\in V$ .

En efecto, no es vacío ya que el arreglo nulo de funciones nulas satisface el sistema homogéneo. De otra pare, si son soluciones del sistema homogéneo, entonces claramente el arreglo suma es nuevamente una solución. En la misma forma si es un real entonces $a.Y\in V$ .

Probemos entonces la segunda afirmación. Sea es una solución particular de (1), y sea otra solución. Entonces escribiendo la notación matricial en forma simplificada se tiene que , luego $Z-W\in V$ , con esto , donde $Y\in V$ .