SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 2.

Forma CanÓnica Triangular

Teorema 3. Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . es diagonalizable si y sólo si el polinomio mínimo de es de la forma

donde $a_{i}\in K$ son valores diferentes, $1\leq i\leq k$ , $1\leq k\leq n.$ La afirmación del teorema también se cumple si es una matriz cuadrada de orden $n\geq1$ .

Demostración. $\Rightarrow )$ Si es diagonalizable tiene una base conformada por vectores propios: . Sean los diferentes valores propios de , $1\leq k\leq n$ . Sea $v=b_{1}.$ un vector cualquiera de , entonces

ya que las transformaciones polinomiales conmutan y cada $v_{i}$ esta asociado a algunos de los valores propios Esto indica que el polinomio se anula en , de donde, $q_{T}(x)$ divide a dicho polinomio. Pero como $a_{i}$ es raíz de $q_{T}(x)$ , entonces cada factor $(x-a_{i})$ divide a $q_{T}(x)$ , por lo tanto divide a $q_{T}(x).$ Se tiene entonces que

$\Longleftarrow )$ Nótese que son los diferentes valores propios de (véase la Proposición 2). Sea el espacio generado por todos los vectores propios de ; si , entonces es diagonalizable. Supóngase que $W\neq V$ . Demostraremos que esta suposición nos lleva a una .

Es claro que es invariante. Según la Proposición 5 , existe y un valor propio de tales que . es alguna de las raíces de $q_{T}(x)$ , digamos, $a=a_{1},$ entonces Por otro lado, , es decir, es un vector propio de con valor propio $a_{1}$ , con lo cual $w\in W$ . Sea , entonces . La división con resíduo de entre $(x-a_{1})$ nos da

con $m(x)\in K[x].$ Entonces,

es decir, ya que $v\in W$ y es invariante. Si $h(a_{1})\neq0,$ entonces $u\in W$ y esto contradice la escogencia de . Por lo tanto, $a_{1}$ es una de las raíces de , pero contradice que los valores son diferentes. $\Box$