SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 5.

El Teorema de DescomposiciÓn CÍclica

Teorema 5. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Entonces existen $r\geq 1$ vectores no nulos en con polinomios anuladores tales que

Además, el entero y los polinomios anuladores están unívocamente determinados por a) y b), es decir, si existen otros vectores no nulos con anuladores tales que se cumplen a) y b), entonces y para cada $1\leq i\leq r.$

Demostración. La prueba de este importante teorema es extensa, razón por la cual la hemos dividido en varias partes. Primero probaremos lo relativo a la existencia de la descomposición deseada.

Parte I. Comencemos probando que podemos encontrar $r\geq1$ vectores no nulos en tales que cumplen las siguientes condiciones:

ii) Sea , entonces el polinomio mínimo $q_{u_{k}}(x)$ de $u_{k}$ relativo a $W_{k-1}$ y a es de grado máximo, es decir, si $v\in V$ y $q_{v}(x)$ es el polinomio mínimo de relativo a $W_{k-1}$ y a , entonces (véase el concepto de polinomio mínimo). Para , $u_{1}$ es un vector no nulo tal que el grado de su polinomio anulador es máximo.

Paso 1. La idea es definir $W_{1}=[u_{1}]$ y $W_{2},\ldots,W_{r}$ recursivamente según ii) hasta completar todo el espacio . Para ello se requiere que cada $W_{k}$ tenga dimensión mayor que el anterior.

Comencemos la discusión para un subespacio propio invariante cualquiera de Sea $u\in V-W$ , entonces $u\neq 0$ y consideremos el polinomio mínimo del vector relativo a y a , $q_{u}(x)\,.$ Sabemos que cada polinomio del - ideal generado por en , $I_{W}^{T}(u),$ es múltiplo de $q_{u}(x).$ Aseguramos que $q_{u}(x)$ no es una constante, es decir, que $gr(q_{u}(x))>0$ : en caso contrario, sea $q_{u}(x)=a\in K$ , entonces $a\neq 0$ pues y entonces $p_{T}(x)$ es múltiplo de Se tendría entonces que $a.u\in W$ y, en consecuencia , $a^{-1}a.u=u\in W$ , lo cual contradice la escogencia de De otra parte, $gr(q_{u}(x))\leq n$ ya que $p_{T}(x)$ es múltiplo de $q_{u}(x).$

Entre todos los vectores $u\in V-W$ escogamos uno tal que $gr(q_{u}(x))$ sea máximo. Sea el subespacio cíclico generado por el vector . Aseguramos que es un subespacio propio de si , entonces $[u]\subseteq W$ con lo cual $u\in W$ , y esto es imposible. Se tiene entonces que . Nótese adicionalmente que es invariante ya que es suma de invariantes.

Hemos demostrado que para cada subespacio propio e invariante de existe un vector no nulo $u\in V-W$ tal que es invariante, y el grado del polinomio mínimo $q_{u}(x)$ de relativo a y a es máximo .

Paso 2. Tomando en el paso anterior encontramos un vector $u_{1}\neq0$ tal que $[u_{1}]$ es invariante y $gr(q_{u_{1}}(x))$ es máximo (en este caso particular $q_{u_{1}}(x)$ es el polinomio anulador del vector $u_{1}$ ) . Sea $W_{1}=[u_{1}]$ . Si $W_{1}=V$ , la prueba de la Parte I ha terminado (en este caso $u_{1}$ es un vector cíclico y por lo tanto . La prueba de la existencia en este caso ya ha terminado

Supongamos entonces que $W_{1}$ es propio. De acuerdo a lo probado en el Paso 1, existe un vector no nulo $u_{2}\in V-W_{1}$ tal que $gr(q_{u_{2}}(x))$ es $\text{m\U{e1}ximo}$ , $W_{1}+[u_{2}]$ es invariante y $(q_{u_{2}}(x)$ es el polinomio mínimo de $u_{2}$ relativo a $W_{1}$ y a . Sea . Si $W_{2}=V$ la prueba de la Parte I ha terminado. En otro caso podemos aplicar recursivamente el Paso 1y puesto que es de dimensión finita podemos asegurar que existen vectores no nulos en tales que se cumple lo afirmado en la Parte I.

Parte II. Sea una colección de $r\geq 2$ vectores no nulos de que cumplen las condiciones i) y ii) de la Parte I, y sea un vector cualquiera de . Para $2\leq k\leq r$ fijo, sea el polinomio mínimo de relativo a Entonces existen polinomios tales que

En esta parte de la prueba queremos demostrar que entonces divide a cada uno de los polinomios $g_{i}(x).$ Para cada consideremos la con resíduo

, ó,

Se trata de demostrar que todos los resíduos $\,r_{i}(x)$ son nulos.

Paso 1. Comencemos con lo siguiente: sea el vector definido por

Veamos que en efecto,

Paso 2. (luego, es el polinomio mínimo de relativo a $W_{k-1}$ ): sea , entonces $m(T)(v)\in W_{k-1}$ y

de donde $m(T)(y)\in W_{k-1}$ , es decir, La prueba de la otra inclusión es completamente análoga.

Paso 3. Supóngase que no todos los resíduos $\,r_{i}(x)$ son nulos, y sea $r_{j}(x)\neq0$ con mayor índice . Entonces, ; sea el polinomio mínimo de relativo a $W_{j-1}$ , puesto que , entonces de $p(T)(y)\in W_{j-1}$ se sigue que $p(T)(y)\in W_{k-1}$ , luego , es decir, es múltiplo de . Sea Resulta,

pero por la definición de , $p(T)(y)\in W_{j-1}$ y como además son invariantes, entonces , de donde el polinomio $g(x)r_{j}(x)$ es múltiplo del polinomio mínimo de $u_{j}$ realtivo al subespacio $W_{j-1}.$ Según la condición ii) de la Parte I, este polinomio mínimo tiene grado máximo, luego el grado de De estas consideraciones se concluye que

, luego , obteniéndose una contradicción. Esto indica que efectivamente todos los resíduos $\,r_{i}(x)$ son nulos.

Parte III. La idea ahora es construir los vectores $v_{i}$ de la parte a) del teorema a partir de los vectores $u_{i}$ que hemos encontrado en la Parte II de la prueba.

Paso 1. Sea una colección de $r\geq 1$ vectores no nulos de con polinomios mínimos $q_{u_{i}}(x)$ que cumplen las condiciones i) y ii) de la Parte I. Si , entonces, como anotamos antes, $V=[u_{1}]$ , $u_{1}$ es un vector cíclico y por lo tanto Sea pues $r\geq 2$ como en la Parte II; para cada $1\leq i\leq r$ v queremos construir los vectores $v_{i}$ ; definimos

$v_{1}=u_{1}$ ,

según el Paso 2 de la prueba de la Parte I, $q_{v_{1}}(x)$ es el polinomio anulador del vector $v_{1}.$ Para $i\geq2$ definimos

donde los polinomios se definen de la siguiente manera. En calidad de vector en el razonamiento de la Parte II tomamos $u_{i}$ y en calidad de tomamos $q_{u_{i}}(x)$ , el polinomio mínimo de $u_{i}$ relativo a $W_{i-1};$ según (1) existen polinomios tales que

y además $q_{u_{i}}(x)$ divide a cada uno de los polinomios Los polinomios se definen entonces mediante esta última condición , es decir, son tales que Como en el Paso2 de la Parte II, , luego $q_{u_{i}}(x)$ es el polinomio mínimo de $v_{i}$ relativo a $W_{i-1}$

Paso 2. A partir de lo anterior vamos a demostrar que

donde, como siempre, Sea $z\in$ $\ [v_{i}]$ $\cap$ $W_{i-1}$ , entonces luego , de donde, es múltiplo de $q_{u_{i}}(x).$ Existe entonces tal que y

Paso 3. Veamos que la suma es directa.

Para comenzar nótese que la intersección de $[v_{1}]$ con $[v_{2}]$ es nula, es decir que la suma $[v_{1}]+[v_{2}]$ es directa: en efecto $[v_{2}]$ $\cap$ $[v_{1}]=[v_{2}]$ $\cap$ $[u_{1}]=[v_{2}]$ $\cap W_{1}=0.$

Supongamos inductivamente que la suma es directa y probemos que la intersección de $[v_{i}]$ con dicha suma es nula. Sea $z\in$ $\ [v_{i}]$ $\cap$ , entonces existen polinomios tales que

pero esto según (2) implica que $z\in[v_{i}]$ $\cap$ $W_{i-1}=0.$

Paso 4. Para terminar la prueba de la parte a) de teorema nótese que

Parte IV. Para la prueba sobre los anuladores se debe demostrar que los polinomios encontrados anteriormente son precisamente los anuladores de los elementos $v_{1},\ldots,v_{r}$ respectivamente.

El caso ya lo consideramos en el Paso 1 de la Parte III. Sea $i\geq2$ , sabemos que el polinomio mínimo de $v_{i}$ relativo a $W_{i-1}$ coincide con $q_{u_{i}}(x)$ , luego , pero según (3), , luego $q_{u_{i}}(x)$ es múltiplo del polinomio anulador de $v_{i}.$

Sea $q_{v_{i}}(x)$ el polinomio anulador de $v_{i}$ , entonces , luego $q_{v_{i}}(x)$ es múltiplo de el polinomio mínimo de $v_{i}$ relativo a $W_{i-1}$ , es decir, es múltiplo de $q_{u_{i}}(x).$ Hemos pues demostrado que $q_{u_{i}}(x)=$ polinomio anulador de $v_{i}$ $=q_{v_{i}}(x).$

Parte V. Veamos la prueba de la parte b). , para cada $1\leq i\leq r.$ Luego,

donde y Pero entonces pertenece a . En total

luego razonando como en la Parte II se tiene que $q_{v_{i+1}}(x)\,|$ $q_{v_{j}}(x)$ para cada $1\leq j\leq i.$ Esto completa la prueba de la parte b).

Parte VI. Ahora vamos a demostrar la parte c). Sea $q_{T}(x)$ el polinomio mínimo de entonces sabemos que $q_{T}(x)$ es múltiplo de $q_{v_{1}}(x).$

De otra parte, según la Parte V, para cada $1\leq i\leq r.$ Existen entonces polinomios $m_{i}(x)$ tales que Sea un vector cualquiera de , entonces existen polinomios $s_{i}(x)$ tales que

por lo tanto $q_{v_{1}}(T)=0$ , de donde $q_{v_{1}}(x)$ es múltiplo de $q_{T}(x).$

Parte VII. Solo resta probar la parte relativa a la unicidad. Sean vectores no nulos con anuladores tales que se cumplen las condiciones a) y b) del enunciado del teorema.

Paso 1. Basta probar que . Pero esta prueba es idéntica a la que realizamos en la Parte VI.

Paso 2. Supongamos inductivamente que para $1\leq i\leq k-1$ , donde $k\leq r.$ Puesto que , entonces $[v_{1}]$ $\oplus$ $\cdots$ $\oplus$ $[v_{k-1}]$ es un subespacio propio de , con lo cual

pero como para $1\leq i\leq k-1$ , entonces y por lo tanto y por lo tanto , es decir, $k\leq s$ . Esto al menos indica que la pregunta sobre la igualdad de $q_{v_{k}}(x)$ y $q_{w_{k}}(x)$ tiene sentido.

Paso 3. Probemos inicialmente que .

$q_{v_{k}}(T)(V)=$

para $j\geq k$ , $q_{v_{k}}(x)$ es múltiplo de $q_{v_{j}}(T)$ luego la suma anterior se reduce a

Por otro lado,

$q_{v_{k}}(T)(V)=$

pero como para $1\leq i\leq k-1$ , entonces se puede probar facilmente que los polinomios anuladores de y también son iguales y en consecuencia . Aplicando esto a (4) y (5) se obtiene que

de donde para $k\leq j\leq s$ , en cosecuencia, , de manera que $q_{v_{k}}(x)$ es múltiplo de $q_{w_{j}}(x)$ para cada $k\leq j\leq s$ , en particular $q_{v_{k}}(x)$ es múltiplo de $q_{w_{k}}(x).$

Podemos repetir todo el razonamiento anterior y probar también que $q_{w_{k}}(x)$ es múltiplo de $q_{v_{k}}(x).$

Paso 4. Por lo anterior resulta imposible que $r\neq s$ , ya que según vimos $k\leq r$ si y sólo si $k\leq s.$ $\Box$