| Lección 5. |
Grupos Abelianos Finitamente Generados
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Finalizamos este capítulo describiendo parcialmente los grupos abelianos
que tienen un subconjunto finito de elementos que lo generan. Nótese que
si
tal
que
entonces todo subconjunto
de
que contenga a
es también generador de
,
de tal manera que al decir que un grupo
es generado por
elementos se obtendrá que este es el número mínimo de
generadores que tiene
.
Puesto que estamos considerando grupos abelianos, la notación será
por tanto aditiva.
Teorema 5. Todo grupo abeliano finitamente generado es suma directa de subgrupos cíclicos.
Demostración. La prueba se realiza por
inducción sobre el número
de generadores del grupo abeliano
.
:
Este caso es trivial ya que
es cíclico.
Supóngase que el teorema es válido para todos los subgrupos
abelianos con sistema de
generadores.
Sea
un grupo abeliano generado por
elementos. Sea
la familia de todos los subconjuntos de
de
elementos que generan a
.
Si existe
en
tal que para cualquier entero
se cumple
para cada
,
entonces esto indica que el elemento nulo de
tiene representación única como suma de elementos de
,
con lo cual
.
Supóngase entonces que pasa para cada
de
es posible encontrar enteros
tales que
pero no todos los
son nulos.
Para cada
de
sea
el conjunto de todas la
tales que
,
y
sea 
.
Por lo dicho anteriormente
continene al menos una
no nula. Sin perder generalidad podemos suponer que existe al menos una
en
tal que
para algún
.
En efecto, esto se sigue de
y
.
Sea
el conjunto de los componentes positivos de los elementos de
.
Según lo anterior
.
Además,
.
Sea
el primer elemento de
y sea
una
que contiene a
con sistema generador correspondiente
(Nuevamente sin pérdida de generalidad se ha supuesto que
es el coeficiente del primer generador).
Sea
un elemento cualquiera de
,
es decir,
.
Probemos que
,
Probemos ahora que para la
que hemos fijado se tiene
.
Suficiente considerar el caso
,
los demás casos se trabajan de manera análoga:
,
.
Notemos que
siendo
.
En efecto,
y
.
Además
según hemos elegido
se tiene que
y así
.
Se obtiene entonces que
,
Sea
.
Nótese que
.
En efecto,
.
Sea
y
.
Sólo resta probar que
:
por lo establecido sólo resta ver que
.
Pero nótese que
Puesto que
esta generado por
elementos entonces según la hipótesis inductiva
es suma directa de un número finito de subgrupos
,
con lo cual
también lo es.▫
Corolario 3. Sea
un grupo abeliano finitamente generado. Según el teorema anterior
es suma directa de subgrupos cíclicos. Dichos subgrupos cíclicos
pueden ser finitos o infinitos. Así pues
es isomorfo a
Cada grupo
se
puede descomponer en suma direct de subgrupos cíclicos primarios:
,
Simplificando un poco la notación podemos escribir que
donde los primos
no son necesariamente diferentes.
Obsérvese que si
no posee elementos no nulos de orden finito es decir, si
es un grupo sin torsión, entonces
.
El entero
de copias de
esta unívocamente determinado con
y se llama rango de
.
Si
tiene elementos de orden finito, entonces el conjunto de dichos elementos
conforma la parte periódica de
,
que como sabemos constituye un subgrupo de
Se tiene entonces
Los enteros
están únivocamente determinados por
y se denominan los coeficientes de torsión de
.