SEDE BOGOTA

Automorfismos

Ejercicios

Ejercicio 2. Calcular

Solución. Sea un automorfismo de $Q_{8}$ . Puesto que en el único elemento de orden es $a^{2}$ entonces $F(a^{2})=a^{2}$ , además, , luego realmente permuta los 6 elementos restantes, a saber: . Esto parece mostrar una relación de $Aut(Q_{8})$ con el grupo de permutaciones $S_{4}.$ En realidad se verá que Cada viene determinado por su acción sobre los generadores . Puesto que tanto como son de orden , entonces y . Esto genera posibilidades, de las cuales sólo corresponden a funciones biyectivas:

		Descartada ya que debe ser biyectiva
	$F(b)=a^{3}$	Descartada ya que entonces $F(a^{3})=a^{3}$
$F_{1}(a)=a$	$F_{1}(b)=b$
$F_{2}(a)=a$	$F_{2}(b)=ab$
$F_{3}(a)=a$	$F_{3}(b)=a^{2}b$
$F_{4}(a)=a$	$F_{4}(b)=a^{3}b$

$F(a)=a^{3}$		Descartada ya que $F(a^{3})=a$
$F(a)=a^{3}$	$F(b)=a^{3}$	Descartada ya que debe ser biyectiva
$F_{5}(a)=a^{3}$	$F_{5}(b)=b$
$F_{6}(a)=a^{3}$	$F_{6}(b)=ab$
$F_{7}(a)=a^{3}$	$F_{7}(b)=a^{2}b$
$F_{8}(a)=a^{3}$	$F_{8}(b)=a^{3}b$

$F_{9}(a)=b$	$F_{9}(b)=a$
$F_{10}(a)=b$	$F_{10}(b)=a^{3}$
		Descartada ya que debe ser biyectiva
$F_{11}(a)=b$	$F_{11}(b)=ab$
	$F(b)=a^{2}b$	Descartada ya que
$F_{12}(a)=b$	$F_{12}(b)=a^{3}b$

$F_{13}(a)=ab$	$F_{13}(b)=a$
$F_{14}(a)=ab$	$F_{14}(b)=a^{3}$
$F_{15}(a)=ab$	$F_{15}(b)=b$
		Descartada ya que es biyectiva
$F_{16}(a)=ab$	$F_{16}(b)=a^{2}b$
	$F(b)=a^{3}b$	Descartada ya que

$F_{17}(a)=a^{2}b$	$F_{17}(b)=a$
$F_{18}(a)=a^{2}b$	$F_{18}(b)=a^{3}$
$F(a)=a^{2}b$		Descartada ya que
$F_{19}(a)=a^{2}b$	$F_{19}(b)=ab$
$F(a)=a^{2}b$	$F(b)=a^{2}b$	Descartada ya que es biyectiva
$F_{20}(a)=a^{2}b$	$F_{20}(b)=a^{3}b$

$F_{21}(a)=a^{3}b$	$F_{21}(b)=a$
$F_{22}(a)=a^{3}b$	$F_{22}(b)=a^{3}$
$F_{23}(a)=a^{3}b$	$F_{23}(b)=b$
$F(a)=a^{3}b$		Descartada ya que
$F_{24}(a)=a^{3}b$	$F_{24}(b)=a^{2}b$
$F(a)=a^{3}b$	$F(b)=a^{3}b$	Descartada ya que es biyectiva

Ahora sólo falta demostrar que estas funciones biyectivas son homomorfismos, es decir, son los únicos automorfismos en $Aut(Q_{8})$ . pues que las permutaciones de los elementos corresponden a los automorfismos de $Q_{8}$ , quedando probado de esta manera que .

Sólo revisamos la función $F_{24}$ , las otras se revisan de manera similar (nótese que la función $F_{1}$ corresponde a la idéntica). Cada elemento de $Q_{8}$ es de la forma $a^{r}b^{s}$ donde . Se debe entonces demostrar que . Consideremos dos casos:

i) . Entonces, Si , entonces . Debemos entonces considerar posibilidades, pero en vista de la simetría de la situación, basta tener en cuenta sólo los siguientes casos:

Para entonces , se presentan entonces posibilidades:

ii) . Entonces, . Al igual que en el caso i) se debe considerar por separado cuando y cuando . Revisemos en calidad de ilustración el caso : .\