Teoría de grupos
Resumen: Las operaciones de simetría son elementos de un grupo matemático y por lo tanto sus propiedades se enmarcan dentro de la teoría de grupos en matemáticas. Las moléculas pertenecen a un grupo puntual determinado dependiendo de las operaciones de simetría propias de cada molécula.
En un grupo aplicación o combinación de operaciones de simetría:
- El producto de dos elementos del grupo debe ser un elemento del grupo.
- La multiplicación de elementos del grupo no es conmutativa. Sin embargo, hay algunos grupos cuya combinación de elementos sí es conmutativa. Éstos se denominan Abelianos.
- Debe existir un elemento del grupo que conmuta con los demás y que al multiplicarlo por los otros los deja invariables. Este elemento es el que se ha designado como la identidad, E. Es decir, EX = XE = X.
- La multiplicación de operaciones es asociativa. A(BC) = (AB)C
- Todo elemento debe tener un recíproco, que es también un elemento del grupo. El recíproco es tal que al multiplicarlo por el elemento da como resultado la identidad. X X-1 = X-1X = E
El número total de elementos de un grupo se llama el orden del grupo y se representa por h.
En este curso nos concentraremos principalmente en los grupos matemáticos constituidos por el conjunto de operaciones de simetría de una molécula, o sea en los grupos puntuales, aunque sin olvidar que en química es también de importancia el tipo correspondiente a los grupos espaciales, que son los más usados al tratar sistemas cristalinos. Los primeros se denominan puntuales porque en todas las operaciones permanece inalterado el centro de gravedad de la molécula, mientras que los espaciales incluyen una traslación del centro de gravedad.
En este punto, es posible definir las clases de operaciones en una forma más precisa. Las clases son simplemente pequeños conjuntos de elementos dentro de un grupo. Para determinar si pertenecen a la misma clase, se realiza la siguiente operación, conocida como la transformación por similaridad:
X-1 A X = B, donde, X, X-1, A y B son elementos del grupo
Cuando se cumple esta relación se dice que A y B son conjugados entre sí. Se define entonces una clase del grupo como el conjunto completo de elementos que son conjugados entre sí. En todos los grupos, la identidad constituye una clase por sí misma. Además, en todos los casos, se cumple que el orden de todas las clases es un submúltiplo del orden del grupo. Para determinar las clases en un grupo particular simplemente se efectúan todas las transformaciones por similaridad de un elemento cualquiera usando todos los elementos del grupo, incluido él mismo, y a continuación se toma un segundo elemento que no sea conjugado del primero y así sucesivamente, hasta que todos los elementos del grupo pertenezcan a alguna clase.
Todas las moléculas pertenecen a un grupo puntual según el conjunto de elementos de simetría que posean, y aunque teóricamente hay un número infinito de grupos puntuales, éstos pueden clasificarse en unos pocos tipos diferentes. Según la notación de Schönflies pueden distinguirse los siguientes tipos de grupos puntuales.
1. Grupos C1, Ci, Cs
Estos grupos se consideran especiales dadas sus características. Una molécula pertenece al grupo C1, si su único elemento de simetría es la identidad; al Ci, si además de la identidad posee solamente un centro de inversión, y al Cs si posee únicamente la identidad y un plano de reflexión.
2. Grupos Cn, Cnv, Cnh
Una molécula pertenece al grupo Cn si posee únicamente la identidad y un eje propio de orden n. Si además de la identidad y el eje de orden n la molécula posee un plano horizontal, pertenece al grupo Cnh. Si por el contrario, no existe plano horizontal pero sí n planos verticales, pertenece al grupo Cnv.
3. Grupos Dn, Dnh, Dnd
Una molécula que posee un eje de orden n y además n ejes de orden 2 perpendiculares al eje de orden n, pertenece al grupo Dn. Si además de lo anterior tiene un plano horizontal, pertenece al grupo Dnh. Una molécula pertenece al grupo Dnd si presenta el eje Cn, los n ejes C2 perpendiculares a Cn y además n planos diagonales, σd.
4. Grupos Sn
Las moléculas que no se han clasificado en ninguno de los grupos anteriores, pero que poseen un eje Sn, donde n es par y mayor o igual a 4, pertenecen al grupo Sn. El grupo S2 no se considera puesto que corresponde al mismo Ci.
5. Grupos cúbicos
Cuando las moléculas poseen más de un eje principal, pertenecen a los grupos cúbicos. Estos pueden ser tetraédricos (T, Td, Th), octaédricos (O, Oh) e icosaédricos (Ih). Las moléculas cuya estructura es un tetraedro regular pertenecen al grupo Td y aquellas cuya estructura es un octaedro regular pertenecen al grupo Oh. Si la molécula posee la simetría rotacional de estos grupos, pero no los planos de reflexión, pertenece a los grupos T u O. En el grupo Th se presenta además un centro de inversión.
6. Grupos de rotación completa, R3
Este grupo está caracterizado por un infinito número de ejes de rotación con todos los posibles valores de n. Por ejemplo, una esfera y un átomo pertenecen a este grupo puntual.
En la anterior clasificación debe notarse que hay varios elementos de simetría que no determinan el grupo puntual, sin que esto quiera implicar que no se presentan en los objetos. La siguiente tabla resume los principales grupos puntuales, los elementos determinantes y el orden del grupo:
| Nombre | Orden (h) | Elementos determinantes |
| C1 | 1 | E |
| Cs | 2 | E, σ |
| Ci | 2 | E, i |
| Td | 24 | Tetraedro regular |
| T | 12 | Td - σ |
| Oh | 48 | Cubo, octaedro regular |
| O | 24 | Oh - σ + i |
| Th | 24 | Td - σ + I |
| Ih | 120 | Icosaedro regular |
| I | 60 | Ih - σ |
| R3 | n | Esfera |
| Cn | n | E, Cn |
| Cnv | 2n | E, Cn, σv |
| Cnh | 2n | E, Cn, σh |
| Dn | 2n | E, Cn, nC2⊥Cn |
| Dnh | 4n | E, Cn, nC2⊥Cn, σh |
| Dnd | 4n | E, Cn, nC2⊥Cn, σd |
| Sn | n | E, Sn |
Para clasificar un objeto en un grupo puntual determinado debe seguirse cierto orden, el cual se indica en el siguiente diagrama interactivo:
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C
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