Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
transformaciones lineales

 Lección 4. 
   Transformaciones Lineales Biyectivas

Ejercicio 5. Sean MATH números reales diferentes y sea $T$ definida por

$T:$ $R_{n}[x]$ MATH

MATH

Demuestre que $T$ es una transformación lineal. Calcule $\dim N(T)$ y $rank(T).$ ?` En que caso $T$ es inyectiva, en que caso $T$ es sobreyectiva ?

Solución. Sean MATH, entonces:

MATH

y sea MATH, entonces:

MATH

Luego $T$ es una transformación lineal.


Para la segunda parte del ejercicio, consideremos dos situaciones por separado.


a) $n\geq m$: el $N(T)$ está conformado por los polinomos que tienen como raíces a MATH. Si $p(x)\in N(T)$, entonces MATH donde MATH. Nótese que en este caso una base del núcleo es MATH y la MATH.

Por el Teorema de la dimensión se tiene que:

MATH

es decir, $rank (T)=m.$ Lo anterior indica que $T$ no es inyectiva pero si sobreyectiva.

b) $n<m$: en este caso el único polinomio del núcleo es el cero y $T$ es inyectiva. En consecuencia, $rank(T)=n+1$. Si $m=n+1$ entonces $T$ es sobre y por tanto biyectiva. Si $m>n+1$, entonces $T$ no es sobreyectiva.$\Box $

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