SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 4.

Transformaciones Lineales Biyectivas

Proposición 1. Si $T\,:V\rightarrow W$ es una transformación lineal, entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1) es inyectiva.

2) $N(T\,)=0$ .

3) Si son vectores L I de , entonces son vectores L I de $Im(T\,)$ .

4) Si es una base de , entonces es una base de $Im(T\,)$ .

En particular, si y son espacios de dimensión finita $n\geq1$ , entonces es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva.

Demostración.

: Si $v\in N(T)$ , entonces , con lo cual .

: sean $\in K$ tales que , entonces , es decir, , de donde, .

: es obvio que $T\,(X)$ es LI; si $w\in$ $Im(T\,)$ , entonces existen escalares y vectores tales que

sucesiones reales convergentes ,

lo cual prueba que $T\,(X)$ genera a $Im(T\,)$ , y por lo tanto es una base de $Im(T\,)$ .

: sean $u,v\in V$ tales que ; sin pérdida de generalidad podemos suponer que la expansión de y a través de la base se realiza con los mismos vectores, es decir, existen y $\in K\,\,$ tales que

pero como $T\,(X)$ es L I, entonces $a_{i}=b_{i}$ , para cada $1\leq i\leq n$ . Esto garantiza que .

Por las equivalencias probadas anteriormente se tiene que es inyectiva si y sólo si $\dim(T(V))=n$ si y sólo si si y sólo si es sobreyectiva. $\Box$