SEDE BOGOTA

matrices

Lección 6.

Matrices Invertibles

Teorema 4. Toda matriz se puede factorizar como un producto finito de matrices elementales.

Demostración. La prueba se realiza por inducción sobre el orden de las matrices.

En este caso las matrices invertibles son los escalares no nulos del cuerpo , los cuales pueden ser considerados como matrices diagonales.

Sea

MATH

una matriz invertible. $a_{11}$ y $a_{12}$ no pueden ser simultáneamente nulos debido a que el rango de es dos (véase el Corolario 3 del Capítulo 3). Considérense pues dos casos. Si $a_{11}$ $\neq 0$ , entonces

MATH

También,

MATH

En total, , de donde se puede despejar como un producto de transvecciones y diagonales. Nótese que es invertible ya que es producto de invertibles.

Si $a_{12}$ $\neq0$ entonces se puede reducir esta situación a la anterior multiplicando la matriz a la derecha por la permutación $P_{12}$ , y entonces nuevamente se puede expresar como un producto de elementales. La prueba del caso está completa.

Supóngase que el teorema ha sido probado para matrices de tamaño $n\times n$ y sea una matriz de tamaño $(n+1)\times(n+1)$ . No es posible que todos los elementos de la primera fila de sean nulos; al igual que en el caso se puede desde ya asumir que $a_{11}\neq0.$ La matriz

es tal que $b_{11}=1$ y se puede multiplicar a derecha e izquierda por transvecciones adecuadas hasta obtener una matriz invertible de la forma

MATH ,

donde $A_{0}$ es una matriz de orden Puesto que es invertible, entonces el rango de $A_{0}$ es , es decir, $A_{0}$ es invertible. Por inducción, $A_{0}$ se puede factorizar en un producto de matrices elementales de orden . La matriz se puede entonces escribir en la forma:

MATH

Puesto que cada matriz $F_{i}$ , $1\leq i\leq t$ , es elemental de orden , entonces queda factorizada en un producto de matrices elementales de orden , de donde, se expresa como un producto finito de matrices elementales de orden $n+1.\Box$