SEDE BOGOTA

polinomio caracteristico

Lección 4.

Ejercicios

Problema 5. Sean matrices diagonalizables. Demostrar que y son similares si y sólo si tienen el mismo polinomio característico.

Solución. $\Rightarrow )$ Sean similares, entonces existe una matriz invertible tal que $C^{-1}AC=B$ . Entonces,

$\Leftarrow )$ Supóngase ahora que tienen el mismo polinomio característico y que son diagonalizables. Existen matrices invertibles tales que , . Entonces . Esto implica que , aunque el orden de los elementos no sea el mismo. Sin embargo, se puede lograr que el orden sea el mismo mediante matrices de permutación $_{Pij}$ . En efecto, para intercambiar la entrada diagonal $a_{i}$ con la $a_{j}$ se debe realizar la siguiente operación: . Puesto que $P_{ij}^{-1}=P_{ij}$ , entonces se puede asegurar que existe una matriz invertible (producto de las permutaciones que sea necesarias para ordenar los elementos diagonales) tal que , es decir, las dos matrices diagonales son similares, y en consecuencia, y son similares.▫