SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 2.

Forma CanÓnica Triangular

Ejercicio 3. Sea un cuerpo algebraicamente cerrado y sea $T:V\rightarrow V$ una transformación de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . Demostrar que en existen subespacios invariantes de dimensiones tales que

Solución. Como es algebraicamente cerrado podemos aplicar la Proposición 5. Sea $v_{1}$ un vector propio de . Entonces claramente $<v_{1}>$ es invariante de dimensión . Si $<v_{1}>=V$ , ya hemos terminado: . Si $<v_{1}>\neq V$ aplicamos la proposición y existe un vector y tal que , donde es un cierto valor propio de . Entonces, , de donde es -invariante de dimensión . Si $V_{2}=V$ hemos terminado. De lo contrario aplicamos nuevamente la proposición mencionada y escogemos un vector $v_{3}\notin V_{2}$ y tal que , para un cierto valor propio . Entonces, , de donde es -invariante de dimensión . Si $V_{3}=V$ hemos terminado. De lo contrario continuamos de la misma forma. Nótese que el proceso termina ya que es de dimensión finita.