SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 1.

Polinomio Mínimo

Proposición 2. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión $n\geq 1$ (o también, sea una matriz cuadrada de orden $n\geq 1$ ). Sea $\QTR{bf}{a\in K}$ . Entonces, $p_{T}(a)=0$ si y sólo si $q_{T}(a)=0$ (también, $p_{A}(a)=0$ si y sólo si $q_{A}(a)=0$ ). En particular, si es un cuerpo algebraicamente cerrado (véase la Lección 2 del capítulo anterior), entonces las raíces del polinomio mínimo y el coinciden.

Demostración. Sea $a\in K$ una raíz de $p_{T}(x)$ , entonces es un valor propio de . Mediante el algoritmo de la división se tiene que , donde es una constante de . Reemplazando por se tiene que

; sea un vector propio del valor propio , entonces ya que y conmutan resulta que , como es no nulo, entonces , y por tanto $q_{T}(x)=(x-a)s(x)$ . Esto implica que es raíz de $q_{T}(x)$ .

Recíprocamente, sea Sea $a\in K$ una raíz de $q_{T}(x)$ , entonces podemos aplicar el Teorema de Hamilton-Cayley y escribir , de donde ▫