Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
formas canonicas

 Lección 3. 
   DiagonalizaciÓn en Bloques

Proposición 7. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio $V$ de dimensión finita $n\geq 2.$ Entonces, $T$ es diagonalizable en bloques si y sólo si $V$ es suma directa de $2\leq r\leq n$ subespacios invariantes no triviales.

Demostración. $\Rightarrow )$ Sea MATH una base de $V$ en la cual la matriz de $T$ es de la forma

MATH

donde $A_{i}$ es una matriz de orden MATH Nótese que MATH. Podemos escribir la base $X$ en la siguiente forma

MATH

Para cada $1\leq i\leq r$ se tiene que MATH es un subespacio invariante no trivial, y además MATH

$\Leftarrow)$ Si MATH es suma directa de $2\leq r\leq n$ subespacios invariantes no triviales, entonces podemos elegir en cada subespacio $W_{i}$ una base $X_{i}$ de tal forma que MATH es una base de $V$. Es obvio que la matriz de $T$ en dicha base es diagonal en bloques. $\Box$

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