SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 5.

El Teorema de DescomposiciÓn Cíclica

Proposición 9. Sea $T:V\rightarrow V$ una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ y sea una base de . Entonces, el vector es un vector cíclico de si y sólo si es un vector cíclico de la matriz de en la base .

Demostración. Sea Proposición 10 $A=m_{X}(T)$ la matriz de la transformación en la base ; entonces para cada $k\geq 0$ se tiene que $A^{k}$ es la matriz de $T^{k}$ en la base . Puesto que es un -espacio de dimensión , entonces se tiene el isomorfismo

MATH

donde denota la base canónica de $K^{n}$ (véase el Teorema 3 del Capítulo 2). Sea y $\text{N\U{f3}tese}$ que . Se tiene entonces el siguiente diagrama conmutativo para cada $k\geq 0:$

MATH

Debemos demostrar que $[v]_{T}=V$ si y sólo si Teniendo en cuenta que y que , donde es el grado del ( y también de ), entonces basta probar que

$\Leftrightarrow$

Supongamos que y veamos que cada vector canónico $e_{i}$ de $K^{n}$ pertenece a . Para el vector $v_{i}$ de la base de se tiene que , donde Entonces aplicando $\varphi$ y la conmutatividad del diagrama de arriba se tiene que

MATH

Para la prueba de afirmación recíproca partimos de la última igualdad y aplicamos $\varphi^{-1}.\Box$