SEDE BOGOTA

transformaciones lineales

Lección 4.

Transformaciones Lineales Biyectivas

Teorema 3. Salvo isomorfismos, el único -espacio de dimensión $n\geq 1$ es $\ k^{n}$ . Más exactamente, si es un -espacio de dimensión $n\geq 1$ , entonces $V\cong K\,^{n}$ .

Sea una base de y la base canónica de $K\,^{n}$ . Las funciones

con $1\leq i\leq n$ , inducen de manera única transformaciones lineales y que coinciden con en y en , respectivamente ( $\text{v\U{e9}ase}$ el Teorema 2 del presente capítulo). Las transformaciones $S\,T$ y $T\,S$ son tales que y $T\,S(e_{i})=e_{i}$ , para cada $1\leq i\leq n$ . Nuevamente, por el Teorema 2, $S\,T=I_{V}$ y $T\,S=I_{K^{\,n}}$ . Esto indica que es un isomorfismo y la prueba ha terminado. $\Box$