SEDE BOGOTA

formas canonicas

Lección 2.

Forma CanÓnica Triangular

Teorema 2. Sea una transformación lineal de un espacio de dimensión finita $n\geq 1$ . es triangulable si y sólo si el polinomio mínimo de es de la forma

donde $a_{i}\in K$ son valores diferentes, $1\leq r_{i}\leq n$ , $1\leq i\leq k$ , $1\leq k\leq n.$ La afirmación del teorema también se cumple si es una matriz cuadrada de orden $n\geq1$ .

Demostración. $\Rightarrow )$ Existe una base en tal que la matriz de en dicha base es de la forma

MATH .

Nótese que el polinomio característico de es y los valores propios de son . Sean $\in K$ los valores propios diferentes con multiplicidades , de tal manera que

donde Puesto que el polinomio mínimo de divide a $p_{T}(x)$ , entonces ,

$\Leftarrow )$ Sea $v_{1}$ un vector propio de correspondiente al valor propio $a_{1}$ , y sea $W_{1}=<v_{1}>$ , $W_{1}$ es invariante. Si $W_{1}=V$ , entonces $\dim (V)=1$ y es triangulable. Si $W_{1}\neq V$ , entonces , por la Proposición 5, existe un vector $v_{2}\notin W_{1}$ tal que , para $\text{alg\U{fa}n}$ valor propio de . Se tiene entonces que y $\{v_{1},v_{2}\}$ es L $\,$ I. Sea . Si $W_{2}=V$ , entonces $\dim (V_{2})=2$ y la matriz de en la base $\{v_{1},v_{2}\}$ es

MATH

y es triangulable. Si $W_{2}\neq V$ entonces podemos repetir este razonamiento hasta conformar una base de en la cual la matriz de es triangular. $\Box$