SEDE BOGOTA

espacios duales

Lección 2.

El Subespacio Anulador

Propiedades a) $S^{\,\circ }$ es un subespacio de $V^{\ast }$

c) $V^{\,\circ}=0$

d) Si , entonces

e) Si es de dimensión finita y es un subespacio de , entonces

$\dim(W)+\dim($

f) Si es de dimensión finita y $W_{1}\,,\,W_{2}$ son subespacios de , entonces $W_{1}=W_{2}$ si y sólo si

Demostración. Las cuatro primeras propiedades son evidentes. Veamos la prueba de las dos restantes.

e) Sea de dimensión finita . Si , entonces $W^{0}=V^{\ast }$ y en este caso . Sea pues no nulo y una base de . Entonces, completamos esta base hasta una base de : de tal forma que . Definimos ahora la transformación lineal

MATH

Nótese que . (En forma complementaria podemos demostrar que es una base de $W^{0}$ : la independencia lineal es clara ya que estos funcionales son parte de la base dual $X^{\ast }$ . Sea $f\in$ $W^{0}$ , entonces el funcional se puede expresar en la forma

. Esto garantiza que la envolvente lineal de coincide con $W^{0}$ ).

Además, $\alpha$ es sobreyectiva. En efecto, sea $h\in$ $W^{\ast }$ , entonces , definimos $f\in V^{\ast }$ por y . Es claro que . Podemos ahora aplicar el teorema fundamental de homomorfismo del álgebra lineal (ver el Problema 13 de la Sección de Ejercicios del Capítulo 2), de tal manera que , pero . Esto completa la prueba de la parte e).

f) La condición necesaria es evidente. Ahora, si , entonces según la parte e) . Basta entonces demostrar que . Supongamos lo contrario, entonces existe un vector no nulo $v\in W_{2}$ pero $v\notin W_{1}$ . Sea una base de $W_{1}$ , entonces es LI y podemos completar este conjunto hasta una base de : ; consideremos la dual de esta base. Para cada vector se tiene que y , de donde y , es decir, . $\Box$