Álgebra Lineal
Profesor: Oswaldo Lezama
formas bilineales

 Lección 1. 
   Formas Bilineales

Teorema 1.Sea $V$ un $K$-espacio de dimensión finita $n$. entonces

MATH

Demostración. Fijemos una base ordenada cualquiera MATH en $V$ y consideremos al función

MATH

MATH

$m_{X}$ es $K$-lineal ya que MATH y MATH

Nótese que la forma $f$ puede escribirse matricialmente con ayuda de su matriz $A=m_{X}(f)$. En efecto, sean MATH, MATH, las coordenadas de $u,v$ respectivamente en la base $X$. Entonces,

MATH

MATH,

es decir,

$f(u,v)=ZAY^{T}$

$m_{X}$ es sobreyectiva: Sea $A\in M_{n}(K)$ y $f$ definida como antes. Entonces,

MATH;

MATH;

MATH,

MATH.

Además, claramente $m_{X}(f)=A.$

$m_{X}$ es inyectiva: Si $m_{X}(f)=0,$ entonces MATH para cada $1\leq i,j\leq n.$ Entonces $f(u,v)=0$ para cada $u,v\in V,$ es decir, $f=0.\Box$

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