SEDE BOGOTA

Grupos y Subgrupos

Lección 1.

Leyes de Composición - Definición y Ejemplos

En esta sección definimos el concepto de operación entre elementos de un conjunto; concepto que hemos utilizado tácitamente en todas nuestras matemáticas elementales. Se dará además una definición precisa de las propiedades más comunes de las que gozan estas operaciones. Esto permitirá introducir posteriormente la noción de grupo.

Definición 1. Sea un conjunto no vacío. Cualquier función del producto cartesiano de por en el mismo conjunto se denomina ley de composición interna definida en el conjunto . Así pues, a cada par ordenado de elementos de se le asigna un único elemento de . La imágen del par mediante la función $\bigtriangleup$ se denota por $x\bigtriangleup y$ . $x\bigtriangleup y$ se denomina también resultado de operar e (en ese orden).

Ejemplo 1. La adición de números naturales es una ley de composición :

Ejemplo 2. En podemos definir la función $\bigtriangleup$ como sigue:

MATH

$\bigtriangleup$ es una ley de composición interna en . Por ejemplo, 3 $\bigtriangleup$ 4=3 , 5 $\bigtriangleup$ 2=2, 3 $\bigtriangleup$ 3=3.

Ejemplo 3. Sea un conjunto finito y sea el conjunto de todos los subconjuntos de . La intersección de conjuntos define una operación binaria interna en :

\ $A\cap B$

Ejemplo 4. En el conjunto de los números naturales definamos la función:

donde la operación $\bigtriangleup$ es como en el Ejemplo 2.

Así pues,

$5\ast 3$ = (5 $\bigtriangleup$ 3) + 2 = 3 + 2 =5

$4\ast 4$ = (4 $\bigtriangleup$ 4) + 2 = 4 + 2 = 6

Ejemplo 5. La función , dada por , no define en $\QTR{bf}{Z}$ una operación binaria interna.

Dado un conjunto con una operación binaria interna $\Delta$ y dados 3 elementos , y del conjunto , podemos preguntarnos las maneras de operar estos tres elementos en ese orden e investigar si los resultados de estas formas de operar coinciden. Así pues, en el Ejemplo 1 sean 2,5, 7 $\in$ N.

Entonces 2+5=7 7+7=14

5+7=12 2+12=14

Es decir, (2+5) +7 = 2+(5+7), donde los paréntesis indican la secuencia en que se han efectuado las operaciones.

Es bien conocido que para la adición de números naturales esta propiedad es válida, es decir que cualesquiera que sean ,, $\in$ $\QTR{bf}{N}$ , se cumple que . Nótese sin embargo en el Ejemplo 4, que sobre el mismo conjunto $\QTR{bf}{N}$ se definió la operación $\ast$ que no cumple esta propiedad:

7 $\neq\qquad$ 5

Esto permite clasificar las operaciones binarias de acuerdo a esta propiedad o condición.

Definición 2. Sea $\ast$ una operación binaria definida sobre un conjunto . Se dice que la operación $\ast$ tiene la propiedad asociativa, o que * es una operación asociativa, si para cualesquiera elementos ,, de se cumple la igualdad .

De esta definición surge una pregunta inmediata: En el caso de que sean dados 4, 5, ó elementos (en un orden determinado) la secuencia en que se efectuen las operaciones influye en el resultado? Se puede probar que si la operación es asociativa, es decir si para el caso de 3 elementos se tiene la propiedad exigida, entonces la misma propiedad tendrá lugar para cualesquiera elementos dados en un orden determinado, es decir, que si se dan elementos $a_{1},\dots ,a_{n}$ del conjunto y suponiendo que la operación $\ast$ de es asociativa, los paréntesis que indican la secuencia de como se realizan las operaciones en la expresión $a_{1},\dots,a_{n}$ pueden ser colocados donde se quiera y el resultado no varía.