| Lección 2. |
Leyes de Composición - Propiedades y Estructuras Elementales
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Proposición 1. Sea
un conjunto donde se ha definido una operación binaria asociativa
.
Sea
cualquier elemento de
.
Se define
.
Entonces, para cualesquiera naturales
y
se tienen las identidades
Definición 3. Un
semigrupo es un conjunto
dotado de una operación binaria interna asociativa
.
En este caso se dice también que sobre
se tiene una estructura de semigrupo. Algunas veces se acostumbra denotar al
semigrupo
acompañado de la operación asociativa
:
.
Ejemplo 6.
es un semigrupo.
Ejemplo 7. Sea
un conjunto no vacío cualquiera y sea
el conjunto de aplicaciones (funciones) de
en si mismo. Por teoría elemental de conjuntos sabemos que la
operación composición de funciones
es una operación binaria interna en
y además es asociativa. Así pues,
es un semigrupo.
En el análisis de la propiedad asociativa exigiamos la condición de
no cambiar el orden en que fueran dados los elementos. Este hecho es
fundamental ya que no toda operación binaria
definida sobre un conjunto
cumple que
para todos los elementos
y
de
.
Definición 4. Sea
una operación binaria definida sobre un conjunto
.
Se dice que la operación
es conmutativa si para cualesquiera elementos
y
de
se tiene que:
.
Proposición 2. Sea
un semigrupo conmutativo, es decir, la operación binaria
es asociativa y conmutativa. Entonces, para cualequiera
y cualquier natural
se tiene que:
.
Existen conjuntos con operaciones binarias internas donde se destacan elementos especiales.
Definición 5.
Sea
un conjunto en el cual se ha definido una operación binaria
.
Se dice que el elemento
de
es una identidad de
con respecto de la operación
si para cualquier elemento de
se tiene:
Ejemplo 8.
es una identidad del semigrupo
,
donde
es el conjunto de números enteros.
Surge la siguiente pregunta: en un conjunto
con una operación binaria
pueden existir varias identidades ?
Proposición 3. En un
conjunto
con una operación binaria
solo puede existir un elemento identidad respecto de la operación
.
Nótese que para diferentes operaciones, las identidades no necesariamente
coinciden, como tampoco cada operación debe tener su elemento identidad.
Así pues,
es la identidad del semigrupo
,
es la identidad de
y
no tiene identidad.
Definición 6. Un monoide es un semigrupo que posee elemento identidad.
Definición 7.
Sea
un conjunto dotado de una operación binaria interna
la cual posee un elemento identidad
,
se dice que elemento
de
es invertible si existe
en
tal que
,
en donde
se denomina el inverso de
respecto a la operación
.
En la definición anterior no se exige que cada elemento de
sea invertible. Sin embargo de esta definición se desprende lo siguiente:
Proposición 4. Sea
un monoide. Si
es invertible entonces su inverso
es único.
Proposición 5. Sea
un monoide y sean
los inversos de
,
respectivamente. Entonces
es invertible y
.