SEDE BOGOTA

Grupos y Subgrupos

Lección 3.

Leyes de Composición - Ejercicios

Ejercicio 1. Demostrar por inducción las proposiciones 1 y 2.

Ejercicio 2. Definición: Sea un conjunto dotado de una operación binaria interna $\ast$ , se dice que un elemento $e\in$ G es:

(a) Identidad a la izquierda de $\ast$ si, $e\ast a=a$ , cualquiera que sea $a\in G.$

(b) Identidad a la derecha de $\ast$ si, $a\ast e=a$ , cualquiera que sea $a\in G$ .

Sean $e_{1}$ y $e_{2}$ elementos de tales que $e_{1}$ es identidad a la izquierda de $\ast$ y $e_{2}$ es identidad a la derecha de $\ast$ , probar que $e_{1}=e_{2}$ .

Ejercicio 3. Comprobar que en

(a) $<\QTR{bf}{N},\ast>$ donde $a\ast b=a$ , todo elemento de $\QTR{bf}{N}$ es identidad a la derecha , pero no existe identidad a la izquierda.

(b) $<\QTR{bf}{N},\ast>$ donde $x\ast y =$ máximo común divisor de e no posee elementos identidad.

(d) $<\QTR{bf}{Z},\ast>$ donde $a\ast b=a-b$ , es identidad a la derecha pero no posee identidad a la izquierda.

Ejercicio 4. Encontrar en el semigrupo $<Aplc(X),\circ >$ el elemento identidad.

Ejercicio 5. Sea un conjunto dotado de una operación binaria interna $\ast$ asociativa, la cual posee elemento identidad . Sea $a\in G$ , se dice que

(a) posee un inverso a la izquierda (respecto de ) si existe $b\in G$ tal que $b\ast a=e.$

ii) posee un inverso a la derecha ( respecto de ) si existe $c\in G$ tal que $a\ast c=e$ .

Demostrar que si posee un inverso a la izquierda y un inverso a la derecha , entonces . A partir de esto deducir la Proposición 4.

Ejercicio 6. Determinar en $<Aplc(X),\circ >$ los elementos invertibles.

Ejercicio 7 Demostrar la Proposición 5.

Ejercicio 8. Sean $<A,\ast >$ y $<B,\Delta >$ conjuntos con operaciones binarias internas . Una función , del conjunto en el conjunto se denomina un homomorfismo si respeta las operaciones de los conjuntos y , es decir,

MATH

para cualesquiera elementos $a_{1}$ , $a_{2}$ de . Además, si y poseen elementos identidad y respectivamente, entonces debe cumplir la propiedad adicional .

Sea un homomorfismo de en . Probar por inducción que $f(a^{n})=f(a)^{n}$ para todo $a\in A$ y todo $n\in N$ . Probar además que si es invertible en , entones es invertible en , cumpliéndose la fórmula .

Ejercicio 9. Sea un homomorfismo de en , donde y son los respectivos elementos identidad. Se definen los siguientes objetos:

(a) El conjuntode imágenes de la función se llama imágen del homomorfismo y se simboliza por , así pues

(b) El conjunto de elementos de cuya imagen es el elemento identidad se llama el núcleo del homomorfismo y se simpoliza por o también (de la palabra alemana Kernel). Así pues,

(d) Se dice que el homomorfismo es inyectivo si la función es inyectiva, es decir, para cualesquiera elementos , en la igualdad implica .

(e) Se dice que es un isomorfismo si es sobreyectivo e inyectivo.

(f) Si los conjuntos y coinciden y las operaciones $\ast$ , y, $\Delta$ también, entonces un isomorfismo en este caso se denomina automorfismo de .

Sea un conjunto y sea su conjunto de partes. Sea la función que a cada subconjunto de le asigna su complemento: $f(V)=X\backslash V$ .

Determinar las identidades en $<P(X),\cup>$ y $<P(X),\cap)$ y comprobar que es un isomorfismo. Es un automorfismo de ?

( $\cup$ representa la unión de conujuntos , así como $\cap$ representa la intersección).

Ejercicio 10. Sea un conjunto dotado de una ley de composición interna $\ast$ . Supóngase que en ha sido definida una relación de equivalencia $\equiv .$ Se dice que la relación $\equiv$ es compatible con la operación $\ast$ si para cualesquiera , $a_{1}\equiv b_{1}$ y , implica . Denotemos para $\overline{A}$ el conjunto $A/\equiv$ de clases de equivalencia $[a],a\in A$ . Se desea definir en $\overline{A}$ una operación binaria inducida por $\ast$ y $\equiv$ : sean [a] y [b] elementos de entonces colocamos (1).

(a) Demostrar que (1) define una operación binaria en , es decir , comprobar que para otros representantes $a_{\text{1}}$ y $b_{\text{1}}$ de las clases y respectivamente, se cumple que \overline \.

(b) La función \overline A, $\overline{\ast }>$ que asigna a cada elemento de su clase es un homomorfismo sobreyectivo.

Ejercicio 11. Sea un homomorfismo sobreyectivo. Definimos en la relación $\equiv$ como sigue:

, para cualesquiera $a_{1}$ , $a_{2}$ en .

(a) Demostrar que $\equiv$ es una relación de equivalencia.

(b) Demostrar que $\equiv$ es compatible con $\ast$ , es decir, si $a_{1}\equiv a_{2}$ y $b_{1}\equiv b_{2}$ , entonces .

(Como toda función definida sobre un conjunto cociente, es importante probar como primer paso que $\overline{f}$ está bien definida, es decir que si $a_{1}\equiv a_2$ , entonces ).