SEDE BOGOTA

Grupos y Subgrupos

Lección 4.

Grupos - Concepto

En la lección anterior fueron estudiadas algunas propiedades que pueda tener una operación binaria definida en un conjunto. Así pues, se dijo que cuando la operación binaria $\ast$ definida sobre el conjunto es asociativa se obtiene sobre el conjunto una estructura de semigrupo y se dice entonces que es un semigrupo bajo la operación $\ast$ . Al poseer la operación $\ast$ más propiedades, la estructura se hace más rica y las posibilidades de operar en se hacen mayores. Un ejemplo de tal situación lo constituyen los llamados grupos, los cuales pasamos a definir.

Definición 8. Sea un conjunto no vacío y $\ast$ una operación binaria definida en . Se dice que es un grupo respecto de $\ast$ o que $\ast$ da a una estructura de grupo si $\ast$ cumple las siguientes propiedades:

(a) $\ast$ es asociativa

(b) En existe un elemento identidad respecto de $\ast$

Para denotar un grupo se utilizará la letra acompañada de la operación $\ast$ definida en y esto dentro de un paréntesis $<G,\ast>$ . Cuando no haya ambiguedad sobre la operación $\ast$ escribiremos simplemente para denotar el grupo.

Definición 9. Un grupo $<G,\ast >$ se dice conmutativo o abeliano si la operación $\ast$ es conmutativa.

Ejemplo 9. Los siguientes conjuntos numéricos con las operaciones indicadas constituyen grupos conmutativos. Además se ha destacado el elemento identidad de cada grupo:

( $\QTR{bf}{C}$ denota el conjunto de números complejos).

Ejemplo 10. Los siguientes ejemplos no conforman grupos:

sólo hay dos elementos invertibles: y

el cero no es invertible

el cero no es invertible.

Ejemplo 11 El grupo de elementos invertibles de un semigrupo: Sea un semigrupo con elemento identidad . Entonces el conjunto de elementos de que son invertibles no es vacío y, bajo la misma operación $\cdot$ , constituye un grupo. Este grupo se simboliza por $G^{\ast }$ .

Realmente $G \neq \phi$ ya que $1\in G^\ast$ . Sean $x, y \in G^\ast$ . Debemos verificar que $xy \in G^\ast$ : , así que es invertible con inverso . Esto prueba que $xy \in G^\ast$ .

Puesto que la operación que actúa sobre los elementos de $G^\ast$ es la misma que la de , entonces la propiedad asociativa también se cumple para $G^\ast$ .

Ya hemos visto que $1 \in G^\ast$ , así que en $G^\ast$ hay elemento identidad. Por último, de acuerdo a nuestra escogencia de $G^\ast$ , cada uno de sus elementos es invertible respecto de la operación $\cdot.$

Nótese por ejemplo que $<\QTR{bf}{Z},.,1>$ es un semigrupo conmutativo con elemento identidad , y además

Por último observemos que

son grupos conmutativos, donde