SEDE BOGOTA

Grupos y Subgrupos

Lección 5.

Grupos - Propiedades Básicas

Proposición 6. Sea un grupo. Entonces:

(a) El elemento identidad del grupo es único

(b) Cada elemento de tiene un único inverso $x^{-1}$

MATH

(d) Sean , elementos cualesquiera de , entonces las ecuaciones lineales $a . \,x = b$ y $z .\, a = b$ tienen solución única en .

La proposición que demostraremos a continuación nos indica que los axiomas o propiedades que definen un grupo pueden ser debilitadas.

Proposición 7. Sea $<G,\ast >$ un semigrupo. Entonces bajo $\ast$ es un grupo si y sólo si $\ast$ tiene las siguientes propiedades:

(a) Existe un elemento identidad $e \in G$ a la izquierada, tal que $e \ast x = x$ , para cada $x \in G$ .

(b) Para cada $x \in G$ existe $x^{\prime}\in G$ tal que .

Demostración. $\longrightarrow$ ) Siendo $<G,\ast >$ un grupo, existe un con la condición (a) y cada elemento de es invertible, es decir, la condición (b) también se da.

$\longleftarrow$ ) Sea $<G, \ast>$ un semigrupo donde se cumplen las condiciones (a) y (b). Demostremos que el inverso $x^{\prime}$ de a la izquierda es también a la derecha, es decir, demostremos que

$x\ast x^{\prime}=e$ .

Sea , entonces

Ahora, por (b) existe $y^{\prime}\in G$ tal que . Así pues, de $y \ast y = y$ se deduce que

, es decir, .

Ahora probemos que

Nota 1. (a) Según la proposición anterior, si se da un conjunto con una operación binaria asociativa es suficiente encontrar en un elemento identidad a la izquierda y encontrar para cada $x\in G$ un inverso a la izquierda $x^{\prime }$ para concluir que $<G,\ast >$ es un grupo cuyo elemento identidad es .

(b) Es válida la proposición análoga a la anterior para el caso derecho.

(c) No es siempre cierto que si en un semigrupo $<G, \ast>$ tiene lugar la propiedad (a) a la derecha y la propiedad (b) a la izquierda el sistema sea un grupo. Por ejemplo, sea un conjunto no vacío cualquiera y sea $\ast$ definida por $a \ast b = a$ . $\ast$ es claramente asociativa. Además cualquier elemento de es identidad a la derecha: $a \ast x_0 = a$ . Además, dado $a \in G$ , tiene inverso a la izquierda respecto del elemento . Sin embargo $<G, \ast>$ no es un grupo en el caso que tenga al menos tres elementos distintos .