SEDE BOGOTA

Grupos y Subgrupos

Lección 6.

Grupos - Más Ejemplos sobre Grupos

Ejemplo 12. El grupo de elementos invertibles del semigrupo , denotado por , está constituido por las funciones tales que existe para la cual . En otras palabras, $f\in S(X)$ si y sólo si es una función biyectiva. es pues el grupo de todas las funciones biyectivas definidas de en . En el caso en que sea un conjunto finito de $n\geq 1$ elementos, se denota por $S_{n}$ . Este grupo será estudiado en detalle en el Capítulo VI. Para el caso vamos a ilustrar todos los elementos de $S_{3}$ :

MATH

Observe que este grupo no es conmutativo.

Ejemplo 13. Sea un conjunto no vacío y sea un grupo con elemento identidad . Sea el conjunto de funciones de en . Se define en este conjunto la siguiente operación:

donde son elementos de y $x\in X$ . Esta operación convierte a en un grupo. Nótese que el elemento identidad es la función que asigna a cada elemento de el elemento identidad de . El inverso de la función es una función $f^{-1}$ tal que , para cada $x\in X$ .

Ejemplo 14. Del álgebra lineal podemos tomar el siguiente ejemplo: Sea el conjunto de matrices rectangulares de filas y columnas con la \textoperación habitual de suma definida sobre las entradas de las matrices. Esta operación convierte a en un grupo conmutativo, en el cual el elemento identidad es la matriz nula y el inverso aditivo de una matriz es la matriz con entradas de signo contrario a las entradas de la matriz .

Ejemplo 15. En álgebra elemental se consideran los polinomios con coeficientes reales, la colección de todos estos polinomios ( no es fijo !) se denota por $\QTR{Bbb}{R}[x]$ y constituye un grupo respecto a la adición de polinomios mediante reducción de términos semejantes. El polinomio nulo es el elemento identidad y el inverso aditivo de un polinomio se obtiene cambiandole el signo a cada uno de sus coeficientes.