| Ejercicios |
Ejercicio 19. Cada una de las siguientes tablas definen operaciones binarias internas de las cuales se saben que son asociativas. Comprobar que ellas definen grupos:
Es
un grupo conmutativo? Es
un grupo conmutativo?
Es
un subgrupo de
?
Es
?
Es
un subgrupo de
?
Es
?
Ejercicio 20. Sea
un subconjunto finito no vacío de un grupo
y sea
cerrado respecto a la operación; es decir,
implica
. Entonces demostrar que
es un subgrupo de
.
Ejercicio 21. Sean
y
subgrupos del grupo
. Probar que
es un subgrupo de
.
Ejercicio 22. Sea
un grupo. Se llama orden del grupo y se denota por
o por
al cardinal del conjunto
. Si
es finito, se dice que el grupo es finito. En caso contrario, se dice que
es infinito. Probar que si
no es conmutativo, entonces
.
Ejercicio 23. Sea
un grupo y
un elemento de
.
Definamos
.
se llama el normalizador de
en
. Demostrar que
.
Ejercicio 24. Sea
un grupo abeliano. Probar que el conjunto
es un subgrupo de
.
Ejercicio 25. Sea
un grupo y
un subgrupo no vacío de
Probar que
es un subgrupo de
si y sólo si se cumple la condición
implica
Ejercicio 26. Sea
el grupo de matrices de orden 2 con entradas reales con respecto a la
adición, y sea
el conjunto de matrices de
que son diagonales, es decir
.
Demostrar que
.
Ejercicio 27. Sea
el grupo lineal general de orden 2 sobre los números reales, es decir,
es el grupo de elementos invertibles del semigrupo multiplicativo
.
Sea
el
subconjunto de
constituido por las matrices de determinante
:
.
Demostrar que
.