SEDE BOGOTA

Grupos y Subgrupos

Lección 14.

Clases Laterales. Teorema de Lagrange

Sea un grupo con un número finito de elementos y sea un subgrupo de . Desde luego también es un grupo con un número finito de elementos. Resulta interesante preguntarnos que relación guardan la cantidad de elementos del subgrupo y la cantidad de elementos del grupo . En esta lección mostraremos que el número de elementos de divide al número de elementos del grupo dado .

Joseph-Louis Lagrange

Proposición 16. Sea un grupo cualquiera y sea un subgrupo de . La relacion entre los elementos de definida por

, $a,b\in G$ (1)

es una relación de equivalencia en . Cuando dos elementos y de están relacionados mediante esta relación $\equiv$ diremos que es congruente con módulo .

Demostración:

Reflexiva: sea $a\in G$ entonces $a\equiv a$ ya que $a.a^{-1}=1\in H$ por ser $H\leq G$ .

Simétrica: Sean $a,b\in G$ tales que $a\equiv b$ . Entonces $ab^{-1}\in H$ ; , por ser $H\leq G$ tenemos que pero , o sea que $b\equiv a$ .

Transitiva: Sean elementos de tales que $a\equiv b$ y $b\equiv c$ . Entonces $ab^{-1}\in H$ y $bc^{-1}\in H$ . De ahí que resulta que , es decir $ac^{-1}\in H$ y por lo tanto $a\equiv c$ . Esto completa la demostración de la proposición. $\Box$

Nota 2. Si para el grupo G estamos usando la notación aditiva entonces la relacion $\equiv$ se define como .

Es conocido que cualquier relación de equivalencia $\equiv$ definida sobre un conjunto determina una partición de dicho conjunto en clases de equivalencia disyuntas entre si y la reunión de las cuales da el conjunto . Así pues, para el caso que estamos tratando, sea un elemento cualquiera del grupo . La clase de eqivalencia a la cual pertenece el elemento será denotada por y esta constituída por todos los elementos de con los cuales está relacionado mediante la relación $\equiv$ ; es decir:

Finalmente y como lo dijimos arriba, la reunión de las clases determinadas por la relación $\ \equiv$ es todo el conjunto (grupo) :

Lógicamente la cantidad de clases puede ser muy grande. Puesto que la relación $\equiv$ definida en fue dada por medio del subgrupo , cabe preguntarnos si entre cada clase y el subgrupo hay alguna relación.

Proposición 17. Sea G un grupo, $H\leq G,\equiv$ la relación de equivalencia definida en $\left( 1\right)$ y sea un elemento cualquiera de . Entonces: . En particular,

Demostración: Sea , entonces $\ a\equiv z.$ Por ser $\ \equiv$ una relacion simétrica tenemos que $z\equiv a$ y por eso $\ za^{-1}=x$ , con Hemos probado que Sea un elemento de $\ Ha$ $(x\in H),$ entonces $za^{-1}=x\in H,$ o sea . Esto completa la prueba de nuestra afirmación. $\Box$

Definición 14. Sea un grupo, $\ H\leq G$ y $\ a\in G$ . El conjunto se llama la clase lateral derecha del elemento módulo .

La afirmación anterior muestra en particular que la clase del elemento identidad 1 del grupo G coincide con el subgrupo H. Es decir [1] y H tienen la misma "cantidad" de elementos. A continuación probaremos que todas las clases tienen la misma cantidad de elementos que y por ende todas las clases de equivalencia tienen la misma cantidad de elementos.

Proposición 18. Sea un grupo, un subgrupo de y $\equiv$ la relación de equivalencia definida (1) por medio del subgrupo . Entonces todas las clases de equivalencia determinadas por $\ \equiv$ tienen el mismo cardinal que el subgrupo . En consecuencia, todas las clases de equivalencia determinadas por $\equiv$ tienen el mismo cardinal.

Demostración: Sea un elemento cualquiera de . Entonces La función , , $x\in H$ , es biyectiva. En efecto, claramente es sobreyectiva. Supóngase que y así , con lo cual $\Longrightarrow f$ es inyectiva. $\Box$

Estamos ya en condiciones de demostrar el Teorema de Lagrange para grupos finitos.

Teorema de Lagrange. Sea un grupo finito y sea un subgrupo cualquiera de . Denotemos por el número de elementos del grupo y por el número de elementos del subgrupo . Entonces, $|H|\mid |G|$ .

Demostración: Puesto que $\ G$ es finito entonces $\ H$ determina un número finito de clases de equivalencia en $\ G$ . Sea $\ k$ el número de clases de equivalencia definidas en el grupo ; como estas clases son disyuntas, y además todas tienen elementos, entonces , es decir, , así $|H|\mid |G|.$ ▫

Definición 15. Sea un grupo cualquiera y sea un subgrupo de . El cardinal del conjunto de clases de equivalencia determinado por el subgrupo H mediante la relación definida en se llama el índice del subgrupo en el grupo y se simboliza por Cuando es finito se tiene que

Ejemplo 26. 1) Sea $G=S_{3}$ y sea , donde MATH . Calculemos $\mid G:H\mid$ y además determinemos el conjunto de clases laterales de .

Por el Teorema de Lagrange

;

Nótese que ; ; , es decir se tienen 3 clases de equivalencia tal como lo había pronosticado el Teorema de Lagrange. Obsérvese que una clase de equivalencia, o en otras palabras, una clase lateral derecha no es general un subgrupo del grupo dado.

2) , para $n\geq1$ ; .