SEDE BOGOTA

Grupos Abelianos Finitos

Lección 1.

p-Grupos Abelianos Finitos

Comenzamos probando que todo grupo finito de orden $n=p_{1}^{r_{1}}...$ $p_{k}^{r_{k}}$ , es suma directa de sus subgrupos de Sylow si y sólo si estos son normales. En el caso de ser abeliano esta condición se da automáticamente y podemos enunciar el siguiente teorema.

Teorema 1. Sea un grupo finito de orden ,

; $p_{1},...,p_{k}$ primos diferentes y

Entonces, es suma directa de sus subgrupos de Sylow si y sólo si estos son normales en :

,,,,,(1)

donde $P_{i}$ es el $p_{i}$ -subgrupo de Sylow de , $1\leq i\leq k.$ En particular, si es abeliano, entonces es suma directa interna de sus subgrupos de Sylow.

Demostración. $\Rightarrow$ ) Si es suma directa de sus subgrupos de Sylow, entonces por la definición de suma directa, cada sumando es necesariamente subgrupo normal de .

$\Leftarrow$ ) Para $1\leq i\leq k$ , sea un -subgrupo de Sylow de tal que es un subgrupo normal de . Entonces es único. Probaremos entonces que (1) se cumple. Veremos que cada elemento $x\in G$ tiene una representación única en la forma $x=x_1\cdots x_k$ , donde $x_i\in P_i$ , $1\leq i\leq k$ .

a) Por razones de orden de sus elementos, para $i\neq j$ se tiene que $P_i\cap P_j=1$ .

b) A partir de a) se obtiene que para $i\neq j$ los elementos de conmutan con los de .

c) El neutro de tiene representación única: sean $x_i\in P_i$ , $1\leq i\leq k$ tales que $1=x_1\cdots x_k$ . Sea , entonces $s_i=p_i^{\alpha_i}$ , . Sea , entonces , luego y por lo tanto . Esto implica que $\alpha_i=0$ , luego , es decir, , para cada $1\geq i\geq k$ .

d) Cada elemento $x\in G$ se puede representar en la forma única anunciada: sea $x\in G$ de orden de tal forma que y , donde $0\leq s_i\leq r_i$ con $1\leq i\leq k$ . Sea , entonces . Existen entonces enteros $t_1,\cdots ,t_k$ tales que , sea $x_i=x^{t_iu_i}$ , $1\geq i\geq k$ . Nótese que ; luego $x_i\in P_i$ . Nótese ahora que . A partir de b) y c) se obtiene que esta representación es única.\

Corolario 1. Sea . Entonces,

MATH

El objetivo central en la descripción de los grupos abelianos finitos consiste en expresar como suma directa de subgrupos de estructura simple y conocida, como por ejemplo a tráves de subgrupos cíclicos. Desde luego que sobre estos subgrupos habrá que colocar alguna ya que de lo contrario la descomposición no sería única. Nótese por ejemplo que .

Nuestro objetivo inmediato es estudiar los -grupos abelianos finitos, es decir, los grupos abelianos cuyo orden es de la forma $p^{n}$ , $n\geq0.$

Proposición 1. Si es un grupo cíclico de orden $p^{n}$ , entonces no se puede descomponer en suma directa de subgrupos cíclicos de orden menor, es decir, es irreducible.

Demostración. Sabemos que $_{p^{n}}$ . Probemos inicialmente que los únicos subgrupos de son los subgrupos de la cadena

$\{1\}=$ $_{p^{o}}\ \subset$ $_{p^{1}}$ $\ \subset$ $_{p^{n-1}}\subset$ $_{p^{n}}$

Sea $\leq$ ; sea $\epsilon$ $_{p^{\alpha}}.$

Ahora si existiera , en $_{p^{n}}$ tales que entonces $H\cap K=\{1\}.$ Para $\alpha$ y $\beta$ dados se tiene que $\alpha\leq\beta$ o $\beta\leq\alpha.$ En el primer caso $H\leq K$ y y $\beta=n.$ En el segundo caso $\ K\leq H,$ $\beta=0.$ En total la única descomposición de es la trivial: .\

Ejemplo 1. $\QTR{bf}{Z}_{4}$ y $\QTR{bf}{Z}_{2}$ $\bigoplus$ $\ \QTR{bf}{Z}_{2}$ no son isomorfos. $\QTR{bf}{Z}_{9}$ y $\QTR{bf}{Z}_{3}$ $\ \bigoplus$ $\ \QTR{bf}{Z}_{3}$ no son isomorfos.

Teorema 2. Cada -grupo abeliano finito es suma directa de subgrupos cíclicos.

Demostración. Sea un $\ p$ -grupo abeliano finito. Entonces $|G|=p^{n}$ . Si es cíclico entonces según la proposición anterior la única descomposición de es la trivial:

Supóngase que no es cíclico. En este caso la demostración se efectua por inducción. Supóngase que el teorema ha sido demostrado para los -grupos abelianos de orden $p^{\alpha},$ $\ 0\leq\alpha < n.$

Sea un grupo abeliano de orden $p^{n}$ . Cada elemento de , $a\neq 1$ , tiene orden de la forma $|a|=p^{\beta}$ , $0<\beta<n$ . Escojamos un $a\neq1$ que tenga orden maximal $p^{m}$ (esto quiere decir que no existe en tal que $|y|=p^{m+1}$ ).

Consideremos el grupo cociente $\bar{G}=G$ . Puesto que y entonces según la hipótesis inductiva

$\bar{G}_{r}$

donde cada $\bar{G}_{i}$ es un subgrupo cíclico de $\bar{G}$ de orden ; además

Sea , $1\leq i\leq r$ . Sería lógico pensar que . Sin embargo no es este el caso, pero con ayuda de los elementos construiremos otros $a_{1},...,a_{r}$ y para ello probaremos que

Nótese que para cada $1\leq i\leq r$ , con donde ( $m\geq\alpha$ ya que es maximal) $\Longrightarrow$

Definimos entonces

$\ 1\leq i\leq r$

Nótese que para cada $1\leq i\leq r$ En efecto, ya que De aquí obtenemos que , $\ \ 1\leq i\leq r$ . Por lo tanto,

Sea un elemento cualquiera de . Entonces donde $1\leq i\leq r;$

Se ha probado que cada elemento de se expresa como producto de elementos de $<a_{1}>$ ,..., $<a_{r}>$ y .

Queda por demostrar que la representación es única:

Para esto es suficiente demostrar la unicidad de la representación del elemento identidad . Sea

con $\ 0\leq w< p^{m}.$

$\Longrightarrow$ $|a_{i}||p^{m_{i}})$

Mediante el homomorfismo canónico $G\longrightarrow>G$ obtenemos ya que y , $\ \ 1\leq i\leq r$ $\ \$ $\ 1\leq i\leq r$ , $\Longrightarrow$ con $0\leq z< p^{m};$ . Como y , $1\leq i\leq r$ . Como $\ 0\leq w<p^{m}$ $\$ $\$ y $\ \ |a|=p^{m}$ $\ \Longrightarrow$ $\ w=0.$ \

El Teorema 2 ha probado que cada grupo abeliano finito de orden se descompone en suma directa de subgrupos cíclicos

donde $|G_{i}|=p^{m_{i}}$ , $1\leq m_{i}\leq n$ , $1\leq i\leq r$ , $m_{1}+...+m_{r}=n$ , $1\leq r\leq n$ . (Notese que aquí se ha incluido el caso trivial en el que es cíclico y ).

Vale la pena entonces preguntar sobre la unicidad de la descomposición anterior.

Teorema 3. Si el grupo abeliano finito G se descompone en dos formas en producto de subgrupos cíclicos

entonces y los órdenes $\ |G_{i}|$ coinciden con los órdenes $|H_{j}|$ después de una reordenación de índices.