SEDE BOGOTA

Grupos Abelianos Finitos

Lección 2.

Sistema de Invariantes

Según el Teorema 2 cada -grupo abeliano finito $|G|=p^{n}$ , determina una conformada por los órdenes de los subgrupos cíclicos de su descomposición:

La suma directa se puede reordenar de tal forma que $1\leq r\leq n$ (se ha incluido el caso trivial cuando es cíclico y ). Según el Teorema 3, la longuitud $\ r$ de la así como sus componentes , están determinadas unívocamente por el grupo . Esta primera observación permite dar la siguiente definición.

Definición 1. Sea un abeliano finito, $(|G|=p^{n})$ , se dice que es del tipo si es suma directa de subgrupos de órdenes $p^{m_{i}}$ , $1\leq i\leq r$ , , $1\leq r\leq n$ , $m_{1}+...+m_{r}=n$ , los componentes de la se denominan invariantes (o divisores elementales) del grupo .

2) Sean A y B dos abelianos finitos con el mismo sistema de invariantes . Entonces , y ademas $A_{i}\cong$ $\cong$ $B_{i}$ . Por lo tanto , $1\leq i\leq r$ . El sistema de isomorfismos $\varphi_{i}$ induce el isomorfismo

Hemos probado entonces la siguiente proposición .

Proposición 2. Con sus invariantes cada -grupo abeliano finito se determina unívocamente salvo isomorfismo.

Veamos en un ejemplo la ilustración de los resultados anteriores.

Ejemplo 2. Sea un primo cualquiera y . Determinemos todos los posibles grupos abelianos de orden $p^{4}$ .

Factores invariantes: $(p^{4})$ , $(p^{3},p)$ , $(p^{2},p^{2})$ , $(p^{2},p,p)$ , . Estos tipos determinan salvo isomorfismo únicamente los siguientes grupos distintos:

, , ,

El ejemplo anterior permite la siguiente generalización:

Definición 2. Sea un entero positivo. Una sucesión de enteros positivos $(m_{1},...,m_{r})$ con y $m_{1}+...+m_{r}=n$ se denomina una partición de . Sea el número de particiones de .

Ejemplo 3. : , , , , $\Longrightarrow$

Proposición 3. Sea la clase de todos los subgrupos abelianos no isomorfos de orden $p^{n}$ , $n\geq 1$ , y sea el conjunto de todas las particiones de . Existe una correspondencia biunívoca entre y , es decir, el número de grupos abelianos no isomorfos de orden $p^{n}$ es finito e igual a .

Demostración. Según el Teorema 3, cada elemento de determina unívocamente su tipo con y $m_{1}+...+m_{r}=n$ . Tenemos pues la función

: $F\longrightarrow P$

Según la Proposición 2 cada partición $(m_{1},...,m_{r})$ determina un único grupo (salvo isomorfismo) con sistema de invariantes . Así pues, es Ahora, es claramente sobre: $(m_{1},...,m_{r})$ determina el cual una vez determina \