SEDE BOGOTA

Grupos Abelianos Finitos

Lección 3.

Grupos Abelianos Finitos

De los resultados de las lecciones anteriores obtenemos las siguientes conclusiones.

Teorema 4. Cada grupo abeliano finito es suma directa de -subgrupos cíclicos. Dos descomposiciones difieren sólo en el orden de disposición de los sumandos.

Demostración. Sea un grupo abeliano finito de orden

$|G|=p_{1}^{n_{1}}$ ... $p_{k}^{n_{k}}$ , $p_{1},...,p_{k}$ son primos diferentes.

Entonces, según el Teorema 1 tiene una descomposicion única en suma directa de sus subgrupos de Sylow (sus componentes primarias!).

Según el Teorema 2 cada componente primaria $P_{i}$ , $1\leq i\leq k$ , se descompone en suma directa de subgrupos cíclicos (componetes primarias ). Además, según el Teorema 3 cada componente primaria $P_{i}$ determina unívocamente el número y orden de sus subgrupos cíclicos:

. . . . . . . . . . .

donde los $G_{i}^{j}$ son $p_{j}$ -subgrupos cíclicos. Entonces,

Si tiene otra descomposicion en suma directa de subgrupos primarios cíclicos , entonces podemos ordenar dichos sumandos de tal forma que colocamos todos los $p_{1}$ -grupos a la izquierda, los $p_{2}$ -grupos a la derecha a continuación y así sucesivamente. Según el primer Teorema de Sylow en esta nueva descomposicion de deben aparecer $p_{i}-$ grupos para cada primo $p_{i}$ , $1\leq i\leq k$ .

Además, según el segundo Teorema de Sylow los $p_{i}-$ sumandos conforman el $p_{i}-$ subgrupo de Sylow de . Luego según el Teorema 3, los $p_{i}$ sumandos de la nueva descomposicion deben ser tantos como $t_{i}$ , $1\leq i\leq k$ , además los órdenes deben coincidir con los órdenes de $G_{1}^{i}$ ,..., $G_{t_{i}}^{i}$ .▫

El teorema anterior describe pues de manera completa los grupos abelianos finitos en términos de grupos primarios cíclicos.

Corolario 2. El número de grupos abelianos no isomórficos de orden

primos diferentes

es , donde $p(n_{i})$ es el número de particiones del entero positivo $n_{i}$ , $1\leq i\leq k.$

Demostración. Consecuencia directa del teorema anterior y de la Proposición 3.▫

Proposición 4. (Recíproco del Teorema de Lagrange para grupos abelianos finitos) Sea un grupo abeliano finito y sea $m\in Z^{+}$ tal que . Entonces contiene al menos un subgrupo de orden .

Demostración. Sea y sea , $p_{k}^{m_{k}}$ con , $1\leq i\leq k$

Existen en subgrupos $H_{1},...,H_{k}$ de órdenes , $1\leq i\leq k$ . Como es abeliano Veamos que $|H_{1}...H_{k}|=m$ . Para ello probemos que , para cada $1\leq j\leq k$ .