SEDE BOGOTA

Grupos Solubles

Lección 1.

Centro de un Grupo

Uno de los parámetros que indica el "grado" de conmutatividad de un grupo es la "aproximación" de él con su centro.

Proposición 1. Sea un grupo, un subgrupo de y un subconjunto no vacío de . Los conjuntos

para cada $a\in A\}$

se denominan normalizador y centralizador de en , respectivamente. Se tiene que

Demostración. Nótese que ya que Sean ; además $A^{x^{-1}}=A$ , es decir, . Esto indica que . De manera análoga se prueba que . Evidentemente . Sea y sea , donde ; luego , es decir, .▫

Consideremos ahora el caso particular en el cual y un subgrupo de .

Proposición 2. Sea un grupo y $K\leq G$ . Entonces

1) y es el subgrupo más grande de en el cual es normal.

2) .

Demostración. 1) La primera parte es consecuencia de la definición de normalizador.

2) Es una consecuencia directa de 1). $\Box$

Definición 1. Sea un grupo. Se denomina centro del grupo al centralizador de en y se denota por $Z\left( G\right)$

para cada $a\in G\}$

Corolario 1. Sea un grupo. Entonces

1) es un grupo abeliano

3) $\ G$ es abeliano . $\Box$

Ejemplo 1. 1) , , , , , , , , , ,

2) ; :

;

. Sea $\pi$ un elemento cualquiera de $S_{n}$ , $\pi\neq1$ . Entonces $\pi$ es producto de ciclos disjuntos:

donde $i\neq j$

Como $n\geq3$ existe $k\neq i$ , $k\neq j$ . Consideremos la trasposición $\left( jk\right)$ . Nótese que . En efecto,

; .

Por lo tanto para cada $\pi\neq1$ en $S_{n}$ , $n\geq3$ , existe un elemento con el cual $\pi$ no conmuta $\Longrightarrow$ .

Sea ahora $n\geq4$ y sea un elemento de $A_{n}$ diferente de 1. Sea $\ell\neq i$ , $\ell\neq j$ , $\ell\neq k$ y escogido como antes. Entonces y además . En efecto, para cada $\pi\neq1$ en $A_{n}$ , $n\geq4$ , existe un elemento con el cual $\pi$ no conmuta .