SEDE BOGOTA

Grupos Solubles

Lección 2.

Conmutante de un grupo

Otro de los parámetros que permite establecer la "distancia" de un grupo a la conmutatividad es su conmutante. Definimos en esta lección el conmutante de dos subconjuntos cualesquiera de un grupo.

Definición 2. Sea un grupo cualquiera y sean elementos de . Se denomina conmutador de los elementos y al elemento de definido por

Se denomina conmutante de o subgrupo derivado de al subgrupo generado por los conmutadores y se denota por $G^{\prime }$ :

Más generalmente, sean $L,M\subseteq G$ no vacíos. Se denomina conmutante mutuo o sencillamente conmutante de y al subgrupo

Proposición 3. Sea un grupo y sean . Entonces . En particular, .

Demostración. Cada elemento de es de la forma $z=z_{1}\dots z_{k}$ , donde cada $z_{i}$ , $1\leq i\leq k$ , es de la forma o $[a,b]^{-1}$ con $a\in L$ , $b\in M$ . Sea un elemento cualquiera de . Entonces . Pero

y $a^{x}\in L$ , $b^{x}\in M$

Se obtiene entonces que . La última afirmación se tiene de . $\Box$

Proposición 4. Sea un grupo. es abeliano .

Demostración. Evidente. $\Box$

Proposición 5. Sea un grupo. Si entonces . Además, $G/G^{\prime }$ es un grupo abeliano y $G^{\prime }$ está contenido en cada subgrupo normal de tal que sea abeliano En particular, el máximo cardinal de , siendo este último abeliano, es igual a .

Demostración. Sea tal que . Sea $x\in G$ y un elemento cualquiera de . Entonces $\ \Longrightarrow$ $x^{-1}ax\in K$ , es decir, . Sean $x,y\in G$ . Entonces , es decir, y así $G/G^{\prime }$ es abeliano.

Sea ahora tal que es abeliano. Sea un elemento cualquiera de $G^{\prime}$ . Cada $z_{i}$ es de la forma o de la forma , donde $a,b\in G$ . Consideremos la clase de $a^{-1}b^{-1}ab$ en el cociente :

, o sea que .

De lo anterior se desprende que $z\in K$ y en total $G^{\prime}\leq K$ . Ademas,

$\ \$

. \

Consideremos ahora algunas propiedades de los conmutadores y conmutantes.

Proposición 6. Sea un grupo tal que es cíclico. Entonces es abeliano.

Demostración. Sea un elemento cualquiera de . Entonces, .

Como este cociente es cíclico existe $a\in G$ tal que para algún , es decir, existe tal que , es decir, es de la forma $x=a^{k}\omega$ , donde .

Sean elementos cualesquiera de . Entonces , donde y ;

, es decir, conmutan. Lo anterior implica que es abeliano. $\Box$

Proposición 7. Sea un grupo de orden , donde y son primos diferentes, tal que . Entonces . En particular si es impar y primo.

Demostración. Puesto que entonces . Si entonces es abeliano e isomorfo a $\QTR{bf}{Z}_{pq}$ .

Si entonces y en consecuencia es cíclico. Según vimos es abeliano y nuevamente . si .

La última afirmación ya había sido considerada en la lección 4 del Capítulo 6. $\Box$

Ejemplo 2. 1) , , $n\geq 1$ ; , , , , , , , .

2) en efecto, para . Para ya que $S_{2}$ es abeliano. Veamos la prueba para $n\geq3$ .

Probemos en primer lugar que puesto que $A_{n}$ está generado por los ciclos de longitud basta probar que cada ciclo $\left( abc\right)$ de longitud está en $S_{n}^{\prime}:$ Sean diferentes , en efecto .

sean . Entonces, es una permutacion por

3) Calculemos ahora Para , para , para ya que $A_{3}$ es abeliano. Para veremos que $A_n^{\prime}=V$ (el grupo de Klein). Probemos que , es decir, .

Sea Denotando por , , entonces $a^{2}=1=b^{2}$ , , esto prueba que el conjunto mencionado es realmente un subgrupo de $A_{n}$ y además que es isomorfo al grupo cuarto de Klein.

Nótese que en están todos los productos de dos transposiciones disyuntas. Sea $\pi\in S_{n}$ una permutación cualquiera de $S_{n}$ y sea uno cualquiera de tales productos. Entonces ; lo anterior prueba que , en particular, .

teniendo en cuenta que $\ A_{n}$ está generado por ciclos de longitud 3, y las fórmulas del ejercicio 4 de este capítulo, es suficiente probar que el conmutador de 2 tres-ciclos está en . Sean elementos diferentes de $I_{n}$ (en particular, si ). Entonces

Nótese que el conmutador coincide con el primero, también coincide con el primero.

las relaciones demuestran esta inclusión ya que además

, $n\geq5$ . En efecto, sean elementos diferentes de $I_{n}$ . Entonces y esto prueba que y en consecuencia .

Cerramos esta lección con otras propiedades de los conmutantes.

Proposición 8. Sea un grupo, $A,B\leq G$ y sea . Entonces

Demostración. 1) sea y sea $x\in H$ . Queremos mostrar que $x^{-1}yx\in H$ . es de la forma

donde $a_{i}\in A$ , $b_{i}\in B$ , , $1\leq i\leq n$ , es de la forma

, $x_{i}\in A\cup B$ , $\lambda_{i}=\pm1$ , $1\leq i\leq m$ ,

Basta entonces considerar solamente los productos de la forma , , con $a\in A,b\in B$ y $x\in A\cup B$ .

\underline $x\in A$ : nótese que (ver ejercicio 4) .

\underline $x\in B$ :

(Ver ejercicio 4)

Ahora,

sean un elemento como en y sea $x\in H$ un elemento como en ; sea además $a\in A$ . Es suficiente entonces considerar solamente un producto de la forma

$x^{-1}ayx$ , con $x\in A\cup B$ .

Pero ; según lo probado anteriormente . Además, si \underline $x\in A$ entonces $x^{-1}ax\in A$ y así .

Si \underline $x\in B$ entonces , y así (la última igualdad es consecuancia de que normaliza $\left[ A,B\right]$ ).

análogo al caso anterior pero considerando el producto $x^{-1}byx$ con $b\in B$ , .

2) según 1) . Puesto que sea $x\in A$ o $x\in B$ . Entonces o . $\Box$

Proposición 9. Sea $G=A\times B$ entonces . Este resultado se puede extender a un producto finito de grupos.

Demostración. Sean , . Se tiene entonces la identidad

la cual inmediatamente da la inclusión de izquierda a derecha.

Para la otra inclusión observemos que cada elemento de es de la forma , donde $c_{i}$ son conmutadores de y $d_{j}$ conmutadores de B. Se puede suponer sin pérdida de generalidad que , y entonces se tiene y resta aplicar otra vez la identidad de arriba. $\Box$

Ejemplo 3. Recuérdese que calculemos $[Q_{8},Q_{8}]:$

d) ya que tomando en c) tenemos que