| Lección 3. |
Cadenas Normales
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El objetivo central de esta lección es probar el teorema de Shreier sobre refinamientos isomorfos de cadenas subnormales y normales.
Definición 3. Se
denomina cadena de un grupo
a una sucesión finita totalmente ordenada de subgrupos de
comenzando en
y terminando en
:
(1)
La cadena (1) se denomina subnormal si
La cadena (1) se denomina normal si
Se dice que un subgrupo
de un grupo
es subnormal en
lo cual denotamos por
,
si
es miembro de una cadena subnormal de
Los cocientes
se denominan secciones de la cadena subnormal (1).
Observación 2. Para los grupos abelianos los conceptos de cadena, cadena subnormal y normal coinciden. Evidentemente en el caso general toda cadena normal es subnormal.
Ejemplo 4. 1)
son cadenas de
con secciones
2)
es una cadena de
con secciones
3)
es una cadena de
con secciones isomorfas a
4)
es una cadena subnormal no normal de
con secciones isomorfas a
5)
son cadenas normales de
con
secciones isomorfas a
Nótese que en
toda
cadena es normal ya que todos sus subgrupos son normales.
6)
es una cadena subnormal no normal de
con secciones
En efecto,
Definición 4. 1) Sean
cadenas del grupo
Se dice que (3) es un refinamiento de (2) si
2) Sean (2) y (3) cadenas subnormales (normales) de
Se dice que ellas son isomorfas si
y existe
tal que
Ejemplo 5. 1)
es un refinamiento de la cadena
2)
y
son cadenas normales isomorfas de
;
Una última definición para luego probar los principales resultados de esta lección.
Definición 5. Sea (1)
una cadena subnormal del grupo
Se dice que (1) es una cadena de composición de
si
es simple para cada
Si (1) es normal se dirá entonces que es una cadena principal de
Proposición 10. Sea
un grupo con cadena subnormal (normal)
Sea
.
Entonces
a)
con
es una cadena subnormal (normal) de
Además
,
b) Si
entonces
con
es una cadena subnormal (normal) de
.
También, la sección
es una imagen homomórfica de
Demostración. a) Sea
y sea
con
Entonces
En efecto, sea
entonces
y
(caso
subnormal).
Sea
y sea
Entonces
(caso
normal). Evidentemente
y
Ahora,
b) Nótese que
es la imagen de
mediante el homomorfismo canónico.
por lo tanto, como
,
entonces
Por ser
sobre y
entonces
Evidentemente
y
Ahora,
.
En la demostración anterior se usó la siguiente forma generalizada del Teorema de Isomorfismo:
entonces
Demostración.
ya que
ya que
evidentemente
ya que
y
Consideremos el homomorfismo natural
Nótese que
es sobre y que
En efecto, sean
Entonces
ya que
Resta probar que
nótese que
ya que
y
Sea ahora
con
y
Teorema 1. (Schreier) Cualesquiera dos cadenas subnormales (normales) de un grupo tienen refinamientos isomorfos.
Demostración. La prueba de este teorema se realizará utilizando el lema de Zassenhans ( o lema de la mariposa).
Lema 1. (Zassenhaus) Sea
un grupo,
y
Entonces
1)
2)
3)
Demostración. Probemos inicialmente que los productos de subgrupos indicados en el diagrama son realmente grupos.
es un grupo: ya que
entonces
es un grupo: ya que
entonces
es un grupo: ya que
es un grupo: ya que
es un grupo: nótese que
por tal razón
Podemos ya probar las afirmaciones del Lema.
1)
Considérese la función
siendo
está bien definida:
tales que
Entonces
es un homomorfismo: como
entonces
para
por tal razón
es evidentemente sobre.
Hemos probado que
y además
2) Se prueba como 1) y se establece la última parte
de
3)
Demostración del Teorema de Schreier. Sea
un grupo y sean
(*)
(
)
dos cadenas subnormales de
Para cada
insertamos entre
y
una sucesión ordenada de subgrupos (no necesariamente diferentes!)
Sea
, 
Nótese que
Según el lema de Zassenhaus (parte1) se obtiene una nueva cadena
subnormal de
que es refinamiento de (*):
Nótese que esta nueva cadena subnormal tiene
subgrupos (no necesariamente diferentes)
Lo mismo podemos hacer con la cadena
(
)
obteniéndose la cadena subnormal
(
)
que es refinamiento de
(
)
y que contiene también
subgrupos (no necesariamente diferentes):
donde
,
Nótese que para cada
y
En efecto,
el último isomorfismo es debido a la parte 3) del lema de Zassenhaus.
Sean
los conjuntos indican
y
respectivamente.
Sea
Nótese que
son equipotentes
Podemos entonces indizar
y
por medio de
En la nueva notación:
Sea ahora
el conjunto de permutaciones del conjunto
Entonces la función
es tal que
y además:
según
(
)
Con esto termina la prueba del teorema para el caso subnormal. Para el caso
normal basta observar que siendo
y
entonces
Teorema 2. (Jordan-Hölder) Cualesquiera 2 cadenas de composición (principales) de un grupo son isomorfas.
Demostración. Sean
y
dos series de composición (principales) del grupo
Según el Teorema 1 ambos tienen refinamientos isomorfos. Pero como
es maximal en
y
es maximal en
entonces los refinamientos coinciden con las cadenas
iniciales
Como consecuencia del Teorema 1 se tiene el siguiente resultado.
Corolario 2. Si el grupo
tiene una cadena de composición (principal) y
es un subgrupo normal propio de
,
entonces
tiene una cadena de composición (principal) que contiene a
Demostración. La cadena
es subnormal y normal en
Consideremos inicialmente el caso subnormal.
Sea
una cadena de composición de
Según el Teorema 1,
tiene un refinamiento subnormal isomorfo a un refinamiento de
Pero como
es de composición, entonces dicho refinamiento de
es una serie de composición. De manera
se argumenta el caso
principal