SEDE BOGOTA

Grupos Solubles

Lección 4.

Grupos Solubles

Teorema 3. Sea un grupo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1) posee una cadena subnormal con secciones abelianas.

2) La cadena de conmutantes

del grupo se estabiliza en 1 después de un número finito de pasos,

donde $k\geq1$

$G^{(0)}=G$

3) posee una cadena normal con secciones abelianas.

Demostración. supóngase que

es una cadena subnormal de con secciones abelianas.

Puesto que y $G/H_{n-1}$ es abeliano entonces de acuerdo a la Proposición 5, .

Supóngase inductivamente que $1\leq k\leq n.$

Nuevamente, como y $H_{n-k}/H_{n-k-1}$ es abeliano entonces pero

Así pues por inducción,

Según la Proposición 3, para cada $1\leq k\leq n.$

Es evidente. $\Box$

Definición 6. Un grupo se dice que es soluble si satisface una de las condiciones del teorema anterior.

Ejemplo 6. 1) Todo grupo abeliano es soluble. El concepto de solubilidad tiene entonces interés para los grupos no abelianos.

2) $S_{3}$ es soluble:

$[A_{3},A_{3}]=1.$

3) $S_{4}$ es soluble:

$[A_{4},A_{4}]=V,$ $\ \ \ [V,V]=1.$

4) $S_{n}$ no es soluble para $\ n\geq5$ :

5) es soluble.

Corolario 3. 1) Si es soluble entonces cada subgrupo de es soluble, cada imagen homomórfica de $\ G$ es soluble.

2) Sea un grupo soluble. Se denomina grado de solubilidad de al menor entero positivo $\ \$ tal que $G^{(n)}=1.$

es soluble $G_{i}$ es soluble para cada $i\in I$ y el conjunto de los grados de solubilidad de los $G_{i}$ es acotado superiormente.

Demostración.

1) Es consecuencia directa de la Proposición 10.

2) $\Longrightarrow)$ es consecuencia de 1)

$\Longleftarrow)$ Según la condición, existe $\ \$ donde $\ .k_{i}$ es el grado de solubilidad de $G_{i}.$ Entonces según el Ejercicio 6) es soluble de grado . $\Box$