Estructuras Algebraicas
Profesor: Oswaldo Lezama
Grupos Cíclicos


 Ejercicios  
    

Ejercicio 13. Demostrar que los subgrupos de $C_{p}\infty $ son: 1 = MATH

Solución. Sea $H$ un subgrupo propio de $C_{p}\infty $. Si para cada $k\geq 0,$ $C_{p^{k}}\leq H$, entonces $H=C_{p^{\infty }}$, pero este caso está descartado. Entonces existe un $k\geq 0$ tal que $C_{p^{k}}$ no está incluido en $H$. Escojamos el menor $k$ tal que $C_{p^{k-1}}\leq H$ pero $C_{p^{k}}$ no está incluido en $H$. $k$ no puede ser $0$ ya que $C_{p^{0}}\leq H.$ Por lo tanto $k\geq 1$. La idea es entonces demostrar que $H=C_{p^{k-1}}.$ Si esto es así entonces el $\ n$ buscado es $n=k-1$.

Sabemos que $C_{p^{k-1}}\leq H$ y supongamos que la inclusión es estricta, es decir, existe $z\in H$ pero MATH. Como MATH existe un $m\geq 1$ $\text{m\U{ed}nimo}$ tal que $z^{p^{m}}=1$ pero $z^{p^{m-1}}\neq 1$. Nótese que $m\geq k$ porque de lo contario $z^{p^{k-1}}=1$ y así $z\in C_{p^{k-1}}.$ Se tiene que MATH. Sea $C_{p^{m}}=<z_1>$, entonces $z=z_1^a$, donde $0\leq a\leq p^m-1$, nótese que $p$ no divide al entero $a$. En efecto, si $p|a$, entonces $a=pb$ y entonces MATH, pero esto indica que $z\in C_{p^{m-1}}$, lo cual es falso. Se tiene entonces que $a$ y $p$ son primos realtivos, es decir, $1=ua+vp^m$, donde $u,v$ son enteros. De aquí resulta que MATH. Esto implica que MATH y de aquí se tendría que $C_{p^{k}}\leq H$, lo cual es falso. En conclusión, $H=C_{p^{k-1}}$.\

Universidad Nacional de Colombia
Carrera 30 No 45-03 - Edificio 477
Bogotá D.C. - Colombia

Aviso Legal - Copyright