SEDE BOGOTA

Grupos Cíclicos

Lección 1.

Definición

Sea un grupo cualquiera y sea un elemento arbitrario de . El conjunto de todas las potencias enteras $a^{n}$ , $n\in Z$ , del elemento constituye un subgrupo de llamado el subgrupo cíclico de generado por el elemento . Como vimos en el capítulo anterior, cuando el grupo sea aditivo diremos que , $n\in Z$ , representa los múltiplos enteros del elemento .

Definición 1. Sea un grupo y sea un elemento cualquiera de . El conjunto

es un subgrupo del grupo G, llamado el subgrupo cíclico de G generado por el elemento . Si es un grupo con notación aditiva escribiremos

Es posible que el subgrupo generado por algún elemento $\QTR{em}{a}$ del grupo G coincida con todo el grupo: ; esta situación se presenta por ejemplo con el entero 1 en el grupo aditivo de los números enteros:

Los grupos para los cuales se tiene este tipo de situación reciben un nombre especial.

Definición 2. Sea un grupo cualquiera. Se dice que es cíclico si coincide con uno de sus subgrupos cíclicos; es decir, si existe un elemento en tal que . En este caso se dice que es un generador del grupo cíclico .

Ejemplo 1. 1. es un grupo cíclico y todos sus subgrupos son cíclicos.

2. El grupo de raíces complejas de grado ( $n\geq1$ ) de la unidad: denotemos por $\ U_{n}$ las soluciones complejas de la ecuación de grado $x^{n}=1$ , es decir,

afirmamos que $U_{n}$ es un subgrupo de En efecto, $U_{n}$ $\neq$ $\phi$ ya que $1^{n}=1$ y por lo tanto $1\in U_{n}.$

Sean $z_{1}$ y $z_{2}$ elementos de $U_{n}.$ Entonces ya que $\langle$ $C^{\ast}$ , $\cdot,1$ $\rangle$ es un grupo abeliano, entonces $(z_{1}z_{2})^{n}$ = 1 y así Sea ahora $z\in U_{n},$ entonces , es decir, $z^{-1}\in$ $U_{n}$ y nuestra afirmación está probada.

Sea un elemento de $U_{n}$ . Escribiendo en la forma polar donde es la norma de y teniendo en cuenta que la norma de un producto de complejos es el producto de las normas, concluimos que Puesto que la norma es un real no negativo entonces $\ r=1$ y tiene la forma polar Podemos utilizar el teorema de D'Moivre para determinar la cantidad de elementos de $U_{n}$ y para demostrar que este subgrupo es cíclico: entonces $\cos n\theta=1$ y $\ sen$ $n\theta=0$ , así $\ n\theta=2k\pi,$ $\ \ k=0,1,2,...$ Despejando $\theta$ obtenemos que Sin embargo, por la periodicidad de las funciones $\cos$ y es suficiente considerar los valores de hasta : . De tal manera que si $z\in\ U_{n}$ entonces es de la forma con . Utilizando la forma exponencial de z podemos demostrar que los complejos con son diferentes:

Si $\cos$ $\frac{2k\pi}{n}+i$ $\cos$ entonces así, y por tanto $k=k\prime$ .

De tal manera que consta de elementos exactamente. ( Nótese que C* es un grupo infinito que posee grupos finitos no triviales: $U_{n}$ , ). Utilizando nuevamente el teorema de D'Moivre comprobemos que $U_{n}$ es cíclico y generado por Sea un elemento cualquiera de $U_{n}$ , entonces es la k-ésima potencia de Así que, $U_{n}$ $\leq\langle$ $U_{n}$ entonces ,

Abraham de Moivre