SEDE BOGOTA

Grupos Cíclicos

Lección 2.

Orden y Período de un Elemento - Concepto

Consideremos nuevamente un grupo cualquiera y $\langle a\rangle$ el subgrupo cíclico generado por el elemento $\QTR{em}{a}$ de G. Vale la pena preguntar sobre la cantidad de elementos del subgrupo $\langle a\rangle.$ Descartemos en primer lugar el caso trivial $\ \QTR{em}{a}=1$ ; en este caso y es un subgrupo de un sólo elemento.

Sea pues $\QTR{em}{a}\neq1$ ( en notación aditiva $\QTR{em}{a}$ $\neq0$ )

Caso infinito. Si para cada par de enteros diferentes y , $m\neq \ n$ , $\QTR{em}{a}^{n}$ entonces lógicamente $\langle a\rangle$ contiene una cantidad infinita de elementos y por tanto el subgrupo cíclico $\langle a\rangle$ es infinito. La condición que $\QTR{em}{a}^{n}$ para cada par de enteros diferentes $m\neq \ \ n$ es equivalente a la condición de que para todo entero . En efecto, si existe tal que $\QTR{em}{a}^{n}=1$ entonces Recíprocamente, supóngase que hay enteros $m\ \neq \ n$ tales que $\QTR{em}{a}^{m}=$ $\QTR{em}{a}^{n}$ . Supóngase por ejemplo que , entonces $\QTR{em}{a}^{m}$ . $\QTR{em}{a}^{-n}=$ entonces , donde $m-n\ >0$ .

Definición 3. Sea un grupo y sea un elemento cualquiera de . Se dice que $\QTR{em}{a}$ es de período infinito si para cada entero positivo , .

En notación aditiva tendremos que es de período infinito si para todo .

Caso finito. Sea nuevamente un grupo y el subgrupo cíclico generado por $\ \QTR{em}{a}$ . Supóngase que existen enteros $m\neq n$ tales que $\QTR{em}{a}^{m}=$ $\QTR{em}{a}^{n}.$ Sea , entonces con $m-n\ >0$ . Considérese entonces el conjunto , entonces por ser $\langle$ $Z^{+},\leq$ $\rangle$ un conjunto bien ordenado tiene primer elemento , es decir, es el menor entero positivo tal que $\QTR{em}{a}^{n}=1$ .

Definición 4. Sea un grupo y sea $\QTR{em}{a}$ un elemento cualquiera de G. Se dice que $\QTR{em}{a}$ es de periodo finito si existe $\ k>0$ tal que . El menor entero positivo tal que $\QTR{em}{a}^{n}=1$ se llama el período del elemento $\QTR{em}{a}$ . En notación aditiva tendremos que es de período finito $\ n$ si $\ n$ es el menor entero positivo tal que $n.\QTR{em}{a}=0$

Podemos ahora sí responder a nuestra pregunta sobre el número de elementos del subgrupo cíclico generado por $\QTR{em}{a}$ .

Proposición 1. Sea un grupo y sea $\QTR{em}{a}$ un elemento cualquiera de . Entonces

i) El subgrupo cíclico $\langle a\rangle$ generado por $\QTR{em}{a}$ es infinito si y sólo si $\QTR{em}{a}$ es un elemento de periodo infinito.

ii) El subgrupo cíclico $\langle a\rangle$ generado por $\QTR{em}{a}$ es finito si y sólo si $\QTR{em}{a}$ es un elemento de período finito. Además, si es el período del elemento $\QTR{em}{a}$ entonces el orden del subgrupo generado por el elemento $\QTR{em}{a}$ es exactamente , se denomina el orden del elemento $\QTR{em}{a}$ y se simboliza por Si $\QTR{em}{a}$ es de período infinito diremos que $\QTR{em}{a}$ es un elemento de orden infinito y escribiremos

Demostración.

i) $\Rightarrow)$ Supóngase que $\QTR{em}{a}$ no es un elemento de período infinito. Entonces existe un entero $\ k>0$ tal que $\QTR{em}{a}^{k}=1.$ Esto quiere decir que $\QTR{em}{a}$ es de período finito. Sea el período del elemento $\QTR{em}{a}$ . Afirmamos que entonces $\langle a\rangle$ contiene exactamente elementos diferentes: . Probemos inicialmente que los elementos $\QTR{em}{1,}$ $\QTR{em}{a,}$ $\QTR{em}{a}^{n-1}$ son diferentes. Si $\QTR{em}{a}^{i}$ $\QTR{em}{=}$ $\QTR{em}{a}^{j}$ con $i\neq j$ y $\ \leq i,$ $j\leq n-1$ , entonces, suponiendo por ejemplo tendremos que con , pero esto contradice el hecho de ser el período de $\ \QTR{em}{a.}$ Sea ahora $k\in Z$ y $\ \QTR{em}{a}^{k}$ un elemento cualquiera de Por el algoritmo de la división tenemos que con $\leq r<n.$ Entonces , así pues $\ \QTR{em}{a}^{k}$ coincide con una de las potencias . Esto prueba entonces que es finito. Nótese que cuando $\ \QTR{em}{a}$ es de periodo finito entonces: $de\ \QTR{em}{a}$

$\Leftarrow)$ Si $\ \QTR{em}{a}$ es de período infinito entonces para todo . Como vimos antes, ésto implica que $\QTR{em}{a}^{n}$ para cada par de enteros diferentes y . Entonces lógicamente es infinito.

ii) $\Rightarrow)$ Supóngase que $\QTR{em}{a}$ no es de período finito. Entonces $\QTR{em}{a}$ es de período infinito y como acabamos de ver en i) es un subgrupo infinito.

$\Leftarrow)$ Si $\QTR{em}{a}$ es de período finito entonces como se demostró anteriormente contiene elementos. $\Box$

Corolario 1. i) Sea un grupo grupo finito. Entonces

ii) Sea $\QTR{em}{a}$ un elemento de período finito del grupo ( no necesariamente finito). Supóngase que $\QTR{em}{a}^{k}=1,$ siendo $k\in Z.$ Entonces, $n\mid k.$ Recíprocamente, si es un entero tal que $n\mid k$ entonces $\QTR{em}{a}^{k}=1.$

iii) Sea G un grupo finito. Entonces

Demostración. i) Si es un grupo finito entonces es también finito. Como entonces por el Teorema de Lagrange

ii) Por el algorítmo de la división , con $0\leq r<n.$ Entonces Por ser el período de $\QTR{em}{a}$ entonces , y así, $n\mid k$ . Recíprocamente, si , entonces

iii) Se desprende de i) y ii). $\Box$

Definición 5. Se dice que es un grupo sin torsión si cada elemento $\QTR{em}{a\neq 1}$ tiene período (o lo que es lo mismo, orden) infinito. Si cada elemento $\QTR{em}{a}$ de es de período (orden) finito, se dice que es un grupo periódico. Finalmente, se dice que es un grupo mixto si contiene elementos $\QTR{em}{a\neq 1}$ tanto de periodo infinito como de periodo finito.