SEDE BOGOTA

Grupos Cíclicos

Lección 3.

Orden y Período de un Elemento - Ejemplos

Grupo sin torsión. Notemos en primer lugar que todo grupo sin torsión debe ser infinito. Sea un número primo. El conjunto de números racionales

bajo la adición es un grupo abeliano sin torsión, y se denomina el grupo de los p-cocientes racionales: por ser $\ Q_{p}\subset Q$ y por ser la operación definida en $\ Q_{p}$ la inducida por la adicion en entonces es suficiente probar que $Q_{p}\leq Q$ y que $Q_{p}$ es un grupo sin torsión:

Sea supóngase que existe tal que es decir, entonces así . Luego,

Grupo infinito periódico. Observemos en primer lugar que cada grupo finito es necesariamente periódico. Sin embargo, como lo muestra este ejemplo, la recíproca de la afirmación anterior no es correcta. Sea un número primo. El conjunto de los números complejos,

bajo la multiplicación, es un grupo abeliano infinito donde cada elemento diferente de 1 tiene período finito. Nótese pues que $C_{p}\infty$ consta de las raíces complejas de las ecuaciones $\ x^{p^{n}}=1,$ con El grupo $C_{p}\infty$ se denomina grupo semicíclico del tipo $p^{\infty}$ .

Para probar que $\ C_{p}\infty$ es un grupo es suficiente probar que $C_{p}\infty$ es un subgrupo de C*: sean $z_{1}$ y entonces existen $n_{1}$ y $n_{2}$ tales que $z_{1}^{p^{n1}}=1$ y $z_{2}^{p^{n2}}=1.$ Si $n=n_{1}+n_{2},$ entonces $z_{1}^{p^{n}}=1$ y $z_{2}^{p^{n}}=1,$ luego es decir,

Sea $\in C_{p}\infty,$ entonces existe $\geq1$ tal que $z^{p^{n}}=1.$ Esto quiere decir que $\in$ $U_{p^{n}}$ y como $U_{p^{n}}\leq$ $C\ast$ entonces $z^{-1}\in$ $U_{p^{n}}$ , es decir, y así Notemos que para cada Por la misma definición de $\ C_{p}\infty$ cada elemento de $C_{p}\infty$ tiene período finito. Nótese que para cada $\geq1$ $U_{p^{n}}\leq$ $U_{p^{n+1}}.$ Denotando por C $_{p^{n}}$ el grupo $U_{p^{n}}$ obtenemos la cadena de subgrupos de $C_{p}\infty:$

$C_{p}\infty=$

Grupo mixto. El grupo multiplicativo de los números complejos es mixto ya que hay elementos, como por ejemplo los enteros diferentes de 1 que son de infinito y complejos como $n\neq 1$ , que son de período finito.