SEDE BOGOTA

Grupos Cíclicos

Lección 4.

Propiedadesn

Las siguientes afirmaciones son válidas para grupos cíclicos cualesquiera. Especialmente importante es la afirmación iv).

Proposición 2. i) Todo grupo cíclico es abeliano.

ii) Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

iii) Si es un grupo cíclico infinito entonces cada subgrupo de diferente de $\left\{ 1\right\}$ es también infinito.

iv) Sea un grupo. Entonces G es un grupo cíclico finito de orden primo si y sólo si G no tiene subgrupos diferentes de los triviales.

Demostración.

i) Esta propiedad se deduce de la regla de exponentes válida en todo grupo.

ii) Sea un grupo cíclico generado por el elemento $\QTR{em}{a.}$ Sea un subgrupo de . Si entonces él es claramente cíclico con generador 1. Sea , entonces existe un $k\neq0$ tal que . Esto indica que contiene potencias enteras positivas del elemento $\ \QTR{em}{a.}$ Por el principio de buena ordenación del conjunto $Z^{+}$ escogemos el menor entero positivo tal que . Afirmamos que Claramente . Sea , entonces existe $m\in Z$ tal que $x=\QTR{em}{a}^{m}.$ Utilizando el algoritmo de la división encontramos enteros tales que , con $0\leq r<s,$ entonces de donde . Por la elección de concluimos que y así

iii) Sea un subgrupo del grupo cíclico infinito . Según ii) existe tal que . Si es finito entonces eso quiere decir que el orden de $\QTR{em}{a}^{s}$ es finito con lo cual $\QTR{em}{a}$ es de período finito y así es finito, lo cual contradice la hipótesis. Esto indica que debe ser infinito.

iv) $\Rightarrow)$ Sea un grupo finito de orden primo Sea $H\ \leq\ G$ , entonces de modo que $\left| H\right| =1$ ó por lo tanto ó .

$\Leftarrow)$ Sea $b\ \neq1$ , $b\in G$ . El subgrupo cíclico generado por b es entonces diferente de Por lo tanto , esto quiere decir que G es . Probemos ahora que G es finito. Consideremos el subgrupo cíclico generado por $b^{2}.$ Por la condición de la hipótesis ó . En el primer caso tendremos que $b^{2}=1$ con lo cual es de período 1 ó 2. No puede ser de período 1 ya que $\ b\neq1.$ Por lo tanto es de período 2 y así con lo cual, G es finito y su orden es el primo 2. Supóngase que Existe entonces $k\in Z$ tal que , es decir, $b^{2k-1}=1$ con lo cual es de período finito y es finito; es decir G es finito. Resta sólo probar que el orden de G es un numero primo. Sea $p=\left| G\right|$ el orden del grupo G y sea $k\in Z^{+}$ tal que $k\mid p$ . Consideremos el subgrupo cíclico generado por $b^{k}$ . Si entonces $b^{k}=1$ y es un múltiplo del período , con lo cual $\ k=p$ . Supóngase ahora que entonces existe $\ \ t\in Z$ tal que , así $b^{kt-1}=1$ entonces $p\mid kt-1$ , es decir que existe $s\in Z$ tal que ; pero $k\mid p$ entonces existe $\ k^{\prime}\in Z$ tal que $p=kk^{\prime}$ ; luego $kt-1=kk^{\prime}s$ ; así entonces Esto prueba que los únicos divisores de son y , con lo cual es primo. $\Box$