SEDE BOGOTA

Grupos Cíclicos

Lección 5.

Teorema

Teorema 1. i) Sea un grupo cíclico finito de orden con generador $\QTR{em}{a.}$ Entonces: $x\in \ G$ es generador de donde $m.c.d.(n,r)\ =\ 1$

ii) Sea un grupo cíclico con generador $\QTR{em}{a}$ y sea un subgrupo de . Entonces donde es el menor entero positivo tal que . Además, si es de orden finito entonces

iii) Sea un grupo cíclico de orden finito y sea $t\in Z^{+}$ tal que $t\mid n$ . Entonces contiene exactamente un subgrupo de orden .

Demostración. i) $\Rightarrow )$ Sea un generador de Entonces existe un $r\in Z$ tal que y De aquí obtenemos que $\QTR{em}{a\in }$ es decir existe $k\in Z$ tal que $\QTR{em}{a=}$ entonces , así $n\mid rk-1$ es decir , con $s\in Z;$ de lo cual , así y son primos relativos y .

$\Leftarrow)$ Sea $r\in Z$ tal que . Lógicamente, . Sea $x\in\ G$ , entonces existe $\ k\ \in Z\ \$ tal que Como existen $t,v\in Z$ tales que , así ; luego

ii) La primera parte de esta afirmación fue demostrada en el punto ii) de la Proposición 2.

Para la segunda parte, el orden de es el orden de $\QTR{em}{a}^{s}$ . Sea , entonces es decir, luego $\ n\mid sm$ , por lo tanto $\frac{n}{d}\mid m,$ siendo . De otra parte, entonces $m\mid\frac{n}{d}.$ Por lo tanto, $\frac{n}{d}\mid m$ y $m\mid\frac{n}{d}$ con lo cual $m=\frac{n}{d}.$

iii) Existencia: como $t\mid n$ entonces , con $s\in Z$ , así En efecto, entonces Si y $\ t_{o}<t$ entonces y $st_{o}<n,$ lo cual es una contradicción.

Unicidad: sea un subgrupo de de orden . Sea y sea el menor entero positivo tal que Por ii) sabemos que y donde ; entonces de modo que , así $s\mid k$ , es decir, con $w\in Z.$ Luego, y por tanto pero $\left| H\right| =$ entonces

Ejemplo 2: los enteros módulo n Sea $n\geq 2$ un entero, entonces el conjunto $Z_{n}$ conformado por todos los enteros conforman un grupo respecto de la siguiente adición: , donde es el resíduo de dividir entre . Nótese que el generador de $Z_{n}$ es $\overline{1}$ . El grupo $Z_{n}$ lo consideraremos nuevamente en el Capítulo 5. Por ahora digamos algo más respecto a su definición. También podríamos haberlo definido usando las ideas previas al teorema de Lagrnage, es decir, se vió que en se puede definir la relación de equivalencia $\equiv$ respecto del subgrupo en la forma $a\equiv b$ si y sólo si $a-b\in <n>$ . Esta relación divide a en clases de equivalencia de la forma . Las clases en este caso se denotan mejor en la forma $[a]=\overline{a}$ , y la suma de clases se hace como se dijo arriba. Nótese que las clase distintas son exactamente . Qeremos ahora calcular todos los subgrupos de $\ Z_{24}$ y todos sus generadores.

Si $H\leq Z_{24}$ entonces de modo que

Para tenemos y para tenemos $H=Z_{24}.$

Para cada $r=\ 2,\ 3,4,6,8,12$ sabemos que $Z_{24}$ contiene solamente un subgrupo de orden . Ahora, cada subgrupo H es cíclico y de la forma donde siendo . Obtenemos pues:

$\frac{24}{d}=2,$ entonces

$\frac{24}{d}=3,$ entonces

$\frac{24}{d}=4,$ entonces

$\frac{24}{d}=6,$ entonces

$\frac{24}{d}=8,$ entonces

$\frac{24}{d}=12,$ entonces $\ d=2=s;$

Los generadores de $Z_{24}$ son de la forma s. con . Entonces . El símbolo $\cong$ en el diagrama anterior indica isomorfismo y será explicado más adelante.