| Lección 1. |
Subgrupo Normal
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En el Capítulo I fue construido el grupo de enteros módulo
,
por medio de 4 objetos, a saber: el grupo
,
el subgrupo
de
,
la relación de equivalencia en
definida como
si y sólo si
y la operación de adición entre clases de equivalencia determinadas
por esta relación:
,
Vale la pena preguntarnos si, dado un grupo
y
un subgrupo cualquiera de
,
podemos repetir la construcción mencionada anteriormente con ayuda de la
relación de equivalencia en
utilizada para la demostración del Teorema de Lagrange:
.
Puesto que las clases de equivalencia están determinadas por el subgrupo
,
será lógico preguntarnos que condición debe satisfacer
para que podamos dar al conjunto de clases de equivalencia una estructura de
grupo. Antes de responder a estas preguntas recordemos cierta
terminología ya introducida antes por nosotros.
Definición 1. Sea
un grupo y sean
y
subconjuntos no vacíos de
,
se denomina producto de los conjuntos
y
(en ese orden) al conjunto de productos de la forma
,
donde
y
,
y se denota por
.
En otras palabras,
.
Proposición 1. Sea
un grupo y sea
un subgrupo de
.
Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
1)
2)
3)
4)
Demostración.
1)
2)
Evidentemente
.
Sea ahora
.
Entonces
; según 1)
;
así pues,
.
2)
3):
Sea
,
entonces
;
Análogamente,
.
3)
4):
Sean
donde
;
.
Ahora, si
se obtiene que
,
es decir,
.
4)
1):
Sea
,
Esto completa la prueba de la
proposición.
Definición 2. Sea
un grupo y
.
Se dice que
es un subgrupo normal de
, lo cual denotamos por
,
si
cumple una de las condiciones de la proposicion anterior.
Definición 3. Sea
un grupo. Entonces
posee al menos dos subgrupos normales, llamados los subgrupos normales
triviales:
,
.
Si
no posee otros subgrupos normales fuera de los triviales se dice que
es un grupo simple.