| Lección 2. |
Grupo Cociente - Concepto
|
Sea
un grupo y
En
se tiene la relacion
Como ya fue demostrado en el Capítulo I,
es una relacion de equivalencia la cual determina una partición del grupo
en clases de equivalencia, llamadas también clases laterales derechas:
Notese que la relacion
es igual a la relacion
definida por
En tal caso
Pero como
entonces las clases laterales derechas e izquierdas de
coinciden.
Podemos definir un producto entre clases de equivalencia, así como se
hizo en
,
y dar al conjunto de clases estructura de grupo.
Proposición 2. Sea
un grupo y sea
Sea
la relacion de equivalencia de
definida por:
(equivalentemente,
)
Sea 
el conjunto de clases de equivalencia (de clases laterales derechas o
izquierdas) determinadas por la relacion
.
Entonces definiendo el producto de clases de
por:
,
adquiere estructura de grupo.
se denomina el grupo factor de
por
.
La clase con representante
será denotada simplemente por
o
en el caso multiplicativo; en notación aditiva
.
Proposición 3. Sea
un grupo y
.
Entonces,
1) Si
es abeliano, entonces
es también abeliano.
2) Si
es cíclico con generador
,
entonces
es cíclico con generador
3) Si
es finito, entonces
4)
5) Sea
y
tal que
Entonces,
6) Sea
tal que
,
entonces
7) La relación de normalidad no es en general transitiva.
Demostración.
Las cinco primeras afirmaciones son casi evidentes.
7) Considérese un cuadrado cuyos vértices se numeran sucesivamente
en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj con los
números 1, 2, 3, 4, comenzando en el extremo inferior izquierdo, y
consideremos el conjunto
de las 8 simetrías de un cuadrado: cuatro rotaciones en sentido contrario
al movimiento de las manecillas del reloj a través de los ángulos:
,
:
Cuatro reflexiones a través de cuatro ejes de simetría:
.
Este conjunto de 8 movimientos posee estructura de grupo bajo la
operación de composición de movimientos. Nótese que cada
movimiento permuta los vértices 1, 2, 3, 4; por lo tanto el grupo
puede ser mirado como subgrupo de
:
la rotación a través del ángulo
,
,
corresponde a la permutación:
Observe que las otras tres rotaciones corresponden a potencias de
,
,
rotación de cero grados.
La reflexión a través del eje
corresponde a la permutación:
,
Las otras tres reflexiones corresponden a productos de
y
Reflexión a través del eje
:
Reflexión a través del eje
:
Reflexión a través del eje
:
Como dijimos anteriormente,
es un subgrupo conocido como grupo dihédrico de grado 4. Nótese que
Además,
ya que
,
ya que
pero
no es subgrupo normal de
.
6
)
queda dividido en sólo dos clases laterales izquierdas:
.
Sea
,
consideremos las siguientes cuatro posibilidades:
a)
b)
,
imposible
c)
,
imposible
d)
