| Lección 3. |
Grupo Cociente - Ejercicios
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Ejercicio 1. Demostrar que en un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales
Ejercicio 2. Sea
un grupo y
un subconjunto no vacío de
.
Sea
el conjunto:
se denomina el conjugado de
por
De mostrar que el conjugado de un subgrupo de
mediante cualquier elemento
de
es también un subgrupo de
.
Demostrar que siendo
,
,
Ejercicio 3. Sea
un grupo,
un subgrupo de
y
un subconjunto no vacío de
Demostrar que:
y
son subgrupos de
(
se llama el normalizador de
en
y 
se llama el centralizador de
en
). Comprobar además que
.
Ejercicio 4. Sea
un grupo y
.
Con las definiciones del ejercicio anterior
se denomina el normalizador de
en
y
se denomina el centralizador de
.
El centralizador de
se denota por
y se llama el centro del grupo
.
Demostrar que :
i)
y
es un grupo abeliano.
ii)
iii) Sea
tal que
.
Entonces
Ejercicio 5.
Sea 
un grupo,
,
,
.
Denotemos por
a la familia de subconjuntos de
constituidos por los conjugados de
con elementos de
,
es decir
.
Demostrar que
Ejercicio 6. Demostrar que la intersección
de dos subgrupos normales es un subgrupo normal. Generalizar este resultado a
una familia no
cualquiera de subgrupos normales.
Ejercicio 7. Sea
un grupo y
.
Demostrar que las relaciones de equivalencia
y
definidas por
y
son iguales, es decir
