| Lección 1. |
Automorfismos Interiores
|
Estudiamos en esta sección la relación entre los automorfismos de un grupo, sus automorfismos interiores y su centro.
Recordemos que si
es un grupo, su centro simbolizado por
y es un subgrupo normal de
el cual está definido por
Notemos que
es abeliano si y sólo si
.
Antes de demostrar el primer resultado importante de esta lección definamos los automorfismos y en particular los automorfismos interiores de un grupo.
Definición 1. Sea
un grupo, un automorfismo de G es un homomorfismo biyectivo de
en si mismo. Sea
;
la función definida por
,,,,,,
es un automorfismo de
y se denomina automorfismo interior de
determinado por
Teorema 1. Sea
un grupo,
su colección de automorfismos y sea
el conjunto de automorfismos interiores de
.
Entonces,
1)
es un subgrupo del grupo
de funciones biyectivas de
en
2)
.
Demostración. 1) La primera afirmación es evidente.
2)
:
ya que
Sean
.
Entonces
,
.
:
sea
,
un automorfismo cualquiera de
.
Entonces para cada
,
,
es decir,
.
Teorema 2. Sea
un grupo cualquiera. Entonces
.
Demostración. Consideremos la función
es un homomorfismo:
.
es evidentemente sobre.
sea
para cada
,
y recíprocamente si
entonces
.
Por el Teorema fundamental de homomorfismo se tiene que
.
Corolario 1.
es abeliano
.