| Lección 2. |
Teorema de Cayley
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La importancia del teorema de Cayley radica en parte en la cota superior
para el número de grupos finitos no isomorfos de orden
.
Teorema 3. Sea
un grupo y sea
el grupo de permutaciones del conjunto
.
Entonces
es isomorfo a un subgrupo de
.
Demostración. Considérese la función
definida por
para cada
:
es decir,
es
sea
entonces
.
es un homomorfismo:
es
Corolario 2. Sea
Existen a lo sumo
grupos no isomórficos de orden
.
Demostración. Sea
un grupo finito de orden
.
Entonces
es isomorfo a un subgrupo de
.
Pero
tiene desde luego un número finito de subgrupos de orden
,
este número es menor que
.
Nótese que el problema de determinar todos los grupos no isomórficos
de orden
se reduciría a determinar todos los subgrupos no isomórficos de
con
elementos.▫