Estructuras Algebraicas
Profesor: Oswaldo Lezama
Automorfismos


 Lección 3.  
   Ejemplos

Ejemplo 1. Automorfismos de grupos cíclicos:

a) Grupo cíclico infinito $\QTR{bf}{Z}$: sea MATH. Como $f$ es un automorfismo la imagen de cada generador de $\QTR{bf}{Z}$ es nuevamente un generador de $\QTR{bf}{Z}$, más generalmente, si $G$ es un grupo cíclico con generador $a$ y MATH entonces $f\left( a\right) $ es un generador de $G$. En efecto, dado $x\in G$ existe $y\in G$ tal que $x=f(y)$, MATH.

Puesto que $\QTR{bf}{Z}$ tiene sólo dos generadores entonces se presentan dos posibilidades para $f$:

$f(1)=1$ MATH-$1$
$\QTR{bf}{Z}$ MATH $\ \QTR{bf}{Z}$ MATH MATH $\ \ \QTR{bf}{Z}$
$1$ MATH $\ 1$ MATH MATH -$k$
$k$ MATH $\ k$ MATH MATH -$k$

MATH

b) Grupo finito de orden $n$, $\QTR{bf}{Z}_{n}$: recordemos que el grupo $\QTR{bf}{Z}_{n}$ se obtuvo a partir de $\QTR{bf}{Z}$ por medio de una relación de equivalencia

MATH.

En otras palabras $\QTR{bf}{Z}_{n}$ es el grupo cociente MATH. En $\QTR{bf}{Z}_{n}$ se puede definir un producto y convertirlo así en un semigrupo multiplicativo:

MATHpara $0\leq r,s<n$.

Es sencillo verificar que el producto está correctamente definido. Además este producto es asociativo con elemento neutro $\overline{1}$ : MATH. Asociado a todo semigrupo multiplicativo con elemento neutro se tiene su grupo de elementos invertibles MATH. Nótese que


MATH

En efecto, MATH tal que MATH con MATH.

Con la observación anterior queremos probar que MATH.

Sea MATH un automorfismo de $\QTR{bf}{Z}_{n}$. Como $\overline{1}$ genera a $\QTR{bf}{Z}_{n}$ entonces $h(\overline{1}) $ es un generador de $\QTR{bf}{Z}_{n}$. Así pues tenemos tantos automorfismos como generadores tiene $\QTR{bf}{Z}_{n}$. Pero nótese que $\overline{r}$ genera $\QTR{bf}{Z}_{n}$ si y sólo si MATH. Podemos entonces definir

$\theta:$ MATH $\longrightarrow$ MATH
$h$ $\longmapsto$ MATH

donde MATH.

$\theta$ es un homomorfismo: sean $f$ y $h$ automorfismos de $\QTR{bf}{Z}_{n}$ tales que MATH, MATH. Nótese que MATH

MATH.

$\theta$ es inyectiva: sea MATH con MATH. MATH pra cada MATH.

$\theta$ es sobre: sea MATH y sea $h$ definido por MATH. Nótese que MATH y además MATH, con lo cual MATH.

Ejemplo 2. El grupo de automorfismos de un grupo finito es finito:

Sea $G$ un grupo de orden $n$. Nótese que MATH $|$ MATH. Pero más exactamente, MATH $|$ MATH ya que para cada MATH.

Ejemplo 3. El grupo de automorfismos de un grupo conmutativo puede ser no conmutativo: Consideremos el grupo 4$^{\underline{o}}$ de Klein: MATH.

Según el ejemplo anterior MATH.

Fácilmente se comprueba que las funciones siguientes son automorfismos de $V$; y lógicamente diferentes

MATH

MATH

MATH.

Evidentemente entonces MATH.

Ejemplo 4. Dos grupos no isomorfos pueden tener grupos de automorfismos isomorfos: MATH.

Ejemplo 5. MATH: en el Capítulo 6 se estudian los automorfismos del grupo dihédrico $D_{n}$. Según se verá allá MATH MATH y además MATH.

Explícitamente los automorfismos de $D_{4}$ son:

$T_{1,0}:$ $D_{4}$ $\longrightarrow$ $D_{4}$
MATH $\longrightarrow$ MATH

$T_{1,0}=$1 $_{D_{4}}$

$T_{1,1}:$ $D_{4}$ $\longrightarrow$ $D_{4}$
MATH $\longrightarrow$ MATH

MATH

$T_{1,2}:$ $D_{4}$ $\longrightarrow$ $D_{4}$
MATH $\longrightarrow$ MATH

MATH

$T_{1,3}:$ $D_{4}$ $\longrightarrow$ $D_{4}$
MATH $\longrightarrow$ MATH

MATH

$T_{3,0}:$ $D_{4}$ $\longrightarrow$ $D_{4}$
MATH $\longrightarrow$ MATH

MATH

$T_{3,1}:$ $D_{4}$ $\longrightarrow$ $D_{4}$
MATH $\longrightarrow$ MATH

MATH

$T_{3,2}:$ $D_{4}$ $\longrightarrow$ $D_{4}$
MATH $\longrightarrow$ MATH

MATH

$T_{3,3}:$ $D_{4}$ $\longrightarrow$ $D_{4}$
MATH $\longrightarrow$ MATH

MATH

Ejemplo 6. MATH: sea MATH y sea MATH. Entonces MATH. Lo anterior permite establecer la función

$\tau:$ $Aut(\QTR{bf}{Q})$ $\longrightarrow$ $\QTR{bf}{Q}^{\ast}$
$f$ $\longrightarrow$ $f(1)$.

$f(1)\neq0$ ya que $f$ es $1-1$.

$\tau$ es un homomorfismo de grupos:

MATH donde MATH Sea MATH entonces MATH

$\tau$ es $1-1$: MATH

$\tau$ es sobre: sea MATH un racional. Definimos

$f:$ $\QTR{bf}{Q}$ $\longrightarrow$ $\QTR{bf}{Q}$
$\dfrac{p}{q}$ $\longrightarrow$ MATH.

Nótese que MATH, es decir, MATH Veamos que MATH

MATH si MATH entonces MATH.

Sea MATH; entonces MATH, es decir, $f$ es sobre MATH

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