SEDE BOGOTA

Grupos de Permutaciones

Lección 1.

Ciclos - Concepto

Definición 1. Sea un elemento de $S_{n}$ . Se dice que f es un ciclo de longitud , $(1\leq m\leq n)$ , si existen elementos diferentes de $I_{n}$ tales que

1) ,

2) para .

Se denota a por

Nótese que un ciclo de longitud es la idéntica en $I_{n}$ .

Sean $f=(a_{1}...a_{m})$ y $g=(b_{1}...b_{r})$ dos ciclos de $S_{n}$ . Se dice que y son dos ciclos disyuntos si

Nótese que las permutaciones y de $S_{7}$ son ciclos disyuntos:

MATH

$\bigskip$

MATH

Proposición 1. En $S_{n}$ el producto de ciclos disjuntos conmuta.

Demostración. Sean $f=(a_{1}...a_{m})$ y $g=(b_{1}...b_{r})$ dos ciclos disyuntos de $S_{n}$ . Sea y . Sea $A_{1}=I_{n}-A$ y $B_{1}=I_{n}-B$ . Dado $x\in I_{n}$ existen tres posibilidades

1) ;

2) $x\in B:$ es análogo al anterior.

3) $x\notin A$ y

De 1), 2) y 3) se desprende que

La importancia de la anterior proposición se pone de manifiesto en el siguiente teorema.

Teorema 1. 1) Sea $f=(a_{1}...a_{m})$ un ciclo de longitud m de $S_{n}$ . Entonces

2) Sea $f=f_{1}...f_{t}$ una permutaci\on de $S_{n}$ donde $f_{1},...,f_{t}$ son ciclos disyuntos de longitudes $m_{1},...,m_{t}$ respectivamente. Entonces

Demostración. 1) Probemos en primer lugar que $f^{m}=1$ : si . Sea se puede expresar también como es decir, $f^{m}$ actua también como 1 sobre los elementos de .

El orden de es el menor entero positivo tal que $f^{k}=1.$ Supóngase que existe $1\leq k<m$ tal que $f^{k}=1.$ , pero esto es una contradicción ya que los elementos del ciclo son diferentes.

Lo anterior prueba que

2) La demostración se efectua por inducción sobre .

: La afirmación es consecuencia de 1).

: $f=f_{1}f_{2}$ , donde $f_{1}$ y $f_{2}$ son ciclos disyuntos de longitudes $m_{1}$ y $m_{2}$ respectivamente. Según la Proposición 1, . Además, $<f_1>\cap<f_2>=1$ . En efecto, sea $g\neq1$ tal que con 1y 1 $\leq r<m_{2}$ . Sea . Puesto que $g\neq1$ existe $x\in I_{n}$ tal que $g(x)\neq x$ . Necesariamente . Sea pues pero , contradicción.

Así pues, $<f_1>\cap<f_2>=1$ ,

Supongamos que la afirmación es cierta para : sea , donde son ciclos disyuntos dos a dos y de longitudes respectivamente. Sea Entonces . Nótese que . Además ; entonces .