| Lección 1. |
Acción de Grupos sobre Conjuntos
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En esta lección se establece la equivalencia entre los conceptos de representacion de un grupo en un grupo de permutaciones y el concepto de accion de un grupo sobre un conjunto.
Definición 1. Sea
un conjunto y sea
un grupo cualquiera. Se dice que el grupo
actua sobre el conjunto
,
si existe una
tal que
i)
ii)
para cualesquiera elementos
de
y cualquier elemento
de
.
Se acostumbra también a decir en tal caso que que
es un
-conjunto
o que
tiene a
como grupo de operadores.
Estrechamente relacionado con el concepto de
-conjunto
aparece el concepto de representación de un
grupo.
Definición 2. Sea
un conjunto no vacío,
el grupo de funciones biyectivas (permutaciones) de
en
,
y sea
un grupo cualquiera. Por representación de
en
se entiende cualquier homomorfismo
Proposición 1. Sea
un grupo cualquiera y sea
un conjunto no vacío arbitrario. Entonces, cada representación de
en
determina una accion de
sobre
,
es decir, convierte a
en un
conjunto.
Recíprocamente, cada estructura de
conjunto
sobre
determina una representación de
en
.
Demostración. Sea
una representación de
en
.
Definamos la función
donde
denota la imagen de
mediante el homomorfismo
.
Se debe probar que para cualesquiera elementos
y cualquier elemento
,
,
donde
es el elemento identidad del grupo
.
Sea ahora
una función que define una estructura de
conjunto
sobre
.
Denotemos la imagen de la pareja
mediante
por
.
La función
definida por
,
donde
,
es un homomorfismo; en efecto,
Definición 3. Sea
una acción del grupo
sobre el conjunto
y sea
,
la representación de
en
asociada a
.
Se denomina núcleo de la acción
y se denota por
al núcleo del homomorfismo
:
Se dice que
actua efectivamente sobre
si
es decir,
si y sólo si
.
Directamente de la definición de acción de un grupo sobre un conjunto se desprenden las siguientes propiedades.
Proposición 2. Sea
un
conjunto.
Entonces
i)
es un
conjunto.
ii)
es un
conjunto,
donde
denota el conjunto de partes del conjunto
.
iii) Sea
y sea
.
Entonces
es un
conjunto.