| Lección 2. |
Orbitas y Subgrupos Estacionarios
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Proposición 3. Supóngase que
actua sobre el conjunto
.
Definimos en
la relacion
por
La relación
es de equivalencia en
.
La clase de equivalencia del elemento
se denota por
y se llama la
órbita
determinada por
.
Nótese que para cada
Al
se le denomina la longitud de la
órbita
determinada por
.
Proposición 4. Sea
un
conjunto
y sea
un elemento de
.
Se denomina subgrupo estacionario del punto
en
y se denota por
al subgrupo de elementos de
que dejan fijo
Además,
.
Demostración. Sean
.
Entonces
Denotemos por
el conjunto de clases laterales izquierdas determinadas por el subgrupo
estacionario
en
.
La correspondencia
definida por
es una biyección. En efecto,
es evidentemente sobre.
Corolario 1. Sea
un
conjunto,
donde
es finito. Entonces, la longitud de cualquier
órbita
divide al orden de
,
.
Proposición 5. Sea
un grupo que actua sobre el conjunto
.
i) Si
están en la misma órbita entonces sus grupos estacionarios son
conjugados:
ii) Si
es un grupo finito y
es la partición de
en un número finito de
órbitas
con representantes
entonces
Demostración. i) Sea
ii) La segunda afirmación de la proposición es debido a que
es finito. En efecto, si
es finito entonces para cada
es también finito, con lo cual
es finito y así cada
es finito. Como
es una partición de
entonces la ecuación de clases se cumple.\
Algunos de los conceptos estudiados anteriormente como centro, centralizador, normalizador, etc., pueden ser vistos como consecuencia de acciones de grupos sobre conjuntos.
Ejemplo 1. Acción de
Conjugación. Sea
un grupo cualquiera y consideremos la acción de
sobre si mismo,
definida por
Notemos que el núcleo de
es el centro del grupo
:
Sea
un elemento cualquiera de
.
La órbita
del elemento
,
en este caso denotada por
,
se denomina la clase de elementos conjugados con
:
Nótese que
ha sido particionado en clases conjugadas. Decir que dos elementos
son conjugados significa que están en una misma clase (de equivalencia)
conjugada, es decir, existe
tal que
Sea
un elemento cualquiera de
.
El subgrupo estacionario de
se denomina en este caso el centralizador de
en
:
Según la Proposición 2, la acción de
conjugación puede ser extendida a los subconjuntos del grupo
.
Sean
subconjuntos de
.
Decimos que
y
son conjugados si existe
tal que
.
Notemos que cuando
es un subgrupo de
entonces
es también un subgrupo de
,
es decir, la acción de conjugación a subconjuntos de
puede ser restringida a subgrupos de
.
En este caso, dado un subgrupo
de
la órbita de
está constituida por los subgrupos de
que son conjugados con
:
Además, el subgrupo estacionario en este caso coincide con el
normalizador de
en
:
Nótese que
,
es decir, el número de subgrupos conjugados de un subgrupo
de
es igual al índice de su normalizador en
.
Ejemplo 2. Generalización del
Teorema de Cayley. Sea
un grupo y
un subgrupo cualquiera de
.
Denotemos por
el conjunto de clases laterales izquierdas determinadas por
en
.
La aplicación definida por
determina una acción de
en
.
Notemos en primer lugar que
es una función: sean
Además,
y también,
Determinemos el núcleo de
:
de aquí obtenemos que
es decir,
Demostremos que
En efecto, sea
Se desea probar que para cada elemento
es decir, que
.
Sea
un elemento cualquiera de
,
entonces:
Claramente,
Sea
La acción
determina desde luego una representación del grupo
en
Tomando
la función
es precisamente el isomorfismo que permite determinar el Teorema de
Cayley. Nótese que cuando
y
no está tan perdido en
como en el Teorema de Cayley.
De este segundo ejemplo se obtiene el siguiente resultado:
Proposición 6. Sea
un grupo finito y sea
un subgrupo de
tal que
no divide a
.
Entonces,
contiene un subgrupo normal no trivial de
En consecuencia,
no es simple.
Demostración. Supóngase que el único
subgrupo normal de
contenido en
es
.
Esto indica que
Por lo tanto
es
y así
es isomorfo a un subgrupo de
.
De aqui se obtiene que
divide a
.
\