SEDE BOGOTA

G-Conjuntos

Lección 3.

Grupos Transitivos

Se dice que el grupo actua transitivamente sobre si determina en solamente una órbita, es decir, para cada par de elementos $i,j\in X$ existe $g\in G$ tal que

Más generalmente, se dice que actua transitivamente sobre o también que es un grupo transitivo sobre , si para cualesquiera subconjuntos ordenados de elementos de existe $g\in G$ tal que

Esto equivale a decir que actua transitivamente sobre el conjunto $X^{[k]}$ de subconjuntos ordenados de de elementos.

Proposición 7. Si actua transitivamente sobre , donde $k\leq |X|,$ entonces actua transitivamente sobre para cada $s\leq k$ .

Demostración. Si entonces no hay nada que probar. Sea y y subconjuntos ordenados de de elementos. Sean y . Consideremos los conjuntos ordenados y . Como es transitivo entonces existe $g\in G$ tal que $gx_{i}=y_{i},$ ; es decir, es transitivo.▫

Proposición 8. i) $S_{n}$ actua transitivamente sobre

ii) $A_{n}$ actua transitivamente sobre $I_{n}$ .

Demostración. i) Sean y dos ordenaciones de $I_{n}$ . Sean definidas por . Entonces .

ii)Sean y subconjuntos ordenados de $I_{n}$ . Como $S_{n}$ es transitivo, entonces $S_{n}$ es transitivo, es decir, existe $\sigma\in S_{n}$ tal que .

Si $\sigma$ es par, entonces no hay nada que probar. Supóngase que $\sigma$ es impar. Sean . Entonces es par y además .\

Proposición 9. Sea $G\leq S_{n}$ y . Supóngase que actua transitivamente sobre $I_{n}$ . Sea el conjunto de puntos de $I_{n}$ que quedan fijos bajo $g,\ g\in G$ . Entonces,

i) MATH

ii) Si es transitivo sobre $I_{n}$ entonces MATH

Demostración. i) Simbolicemos por $G_{1}$ el subgrupo estacionario del punto $1\in I_{n}$ . Sea un elemento cualquiera de $I_{n}$ , como actua transitivamente, entonces existe $g_{i}\in G$ tal que $g_{i}(1)=i$ .

Se determinan así elementos (los cuales no podemos asegurar por ahora que sean diferentes) de $S_{n}$ .

Considérese el conjunto cociente $G/G_{1}$ de clases laterales izquierdas determinadas por $G_{1}$ (Recuerdese que las clases se definen por medio de la relacion de equivalencia ).

Demostremos que MATH

(siendo así, podemos afirmar que los elementos $g_{1},\cdots,g_{n}$ son diferentes.)

Sea un elemento cualquiera de . Sea $i\in I_{n}$ la imagen de mediante : . Entonces

MATH

Supóngase que para dos elementos $i,j\in I_{n}$ se tiene

MATH

Esto completa la prueba de la igualdad (1).

Sea el conjunto de puntos de $I_{n}$ que permanecen fijos bajo ; sea $\{g\}\times N(g)$ el producto cartesiano del conjunto unitario $\{g\}$ y el conjunto . Nótese que para $g\neq h$ , Es posible además que $N(g)=\emptyset$ .

Sea $G_{j}$ el subgrupo estacionario del punto $j\in I_{n}$ . Considérese el producto cartesiano $G_{j}\times\{j\}$ ; como antes, para $i\neq j$ se tiene que .

Evidentemente MATH

Teniendo en cuenta que (Proposición 5) entonces, para cada $j\in I_{n}$ , $|G_{j}|=|G_{1}|$ . Por lo tanto

MATH

ya que todas las clases laterales tienen el mismo cardinal, y además se utilizó (1).

ii) Supóngase que el grupo es transitivo sobre $I_{n}$ . Esto implica que $G_{1}$ es un grupo transitivo sobre .

En efecto, sean $x,y\in\hat{I}_{n}$ . Entonces existe $\sigma\in G$ tal que es decir, esto indica que $\sigma\in G_{1}$ . ( que $G_{1}$ determina en $I_{n}$ solo dos órbitas $\{1\}$ y $\hat{I}_{n}$ ). Sea $\hat{N}(g)$ el conjunto de puntos de $\hat{I}_{n}$ que quedan fijos bajo $g\in G_{1}$ . Según la parte i) de esta proposición obtenemos que