Estructuras Algebraicas
Profesor: Oswaldo Lezama
Teoremas De Sylow


 Ejercicios.  
    

Ejercicio 1. Sea $G$ un grupo formado por dos elementos $x,y$ tales que

$i)$ $x^{p}=1$ (es decir $x$ es de orden $p$)

$ii)$ $y^{q}=1$ (es decir $y$ es de orden $q<p$)

$iii)$ Existe $1<k_{o}<p$, MATH tal que $yxy^{-1}=x^{k_{0}}$

$iv)$ $\ k_{o}^{q}\equiv1$ $(p)$

$v)$ $\ p\equiv1$ $(q)$.

Entonces, $G\cong G_{pq}$.

Ejercicio 2. Demostrar que ningún grupo de orden $pq$ es simple, donde $p,q$ son primos.

Ejercicio 3 Demostrar que todo grupo de orden 15 es cíclico.

Ejercicio 4. Demostrar que todo grupo de orden 35 es cíclico.

Ejercicio 5. Demostrar que todo grupo de orden 77 es cíclico.

Ejercicio 6. Probar que si $n\geq 2,$ $\ H\leq S_{n},$ MATH.

Ejercicio 7. Demostrar que los grupos $A_{4}$, $D_{6}$ y $T$ no son isomorfos.

Solución

Ejercicio 8. Calcular el grupo $Aut(T)$.

Ejercicio 9. Calcular el grupo $Aut(G_{pq})$.

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